%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
% compiled under MacTEX-2018 (TeXLive-2018)
\documentclass{scrreprt}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[sc]{mathpazo}

\usepackage[ngerman]{babel}

\usepackage[shortlabels]{enumitem} % allows to underline counters in enumerate environment (contrary to enumerate), shortlabels option provides compatibility with enumerate package

\usepackage{hyperref}

\usepackage{calrsfs} % improve mathcal

%\usepackage{tikz-cd} % for commutative diagrams

\usepackage{stmaryrd} % for \mapsfrom or \lightning
\renewcommand{\i}{\overset\circ\imath} % the complex imaginary unit

\newcommand\N{\mathbb N}
\newcommand\Z{\mathbb Z}
\newcommand\Q{\mathbb Q}
\newcommand\R{\mathbb R}
\newcommand\C{\mathbb C}
\renewcommand\H{\mathbb H}
\renewcommand\P{\mathbb P}
\newcommand\F{\mathbb F}

\newcommand\p{\mathfrak p}
\newcommand\q{\mathfrak q}
\renewcommand\O{\mathcal O}

\newcommand\al\alpha
\newcommand\be\beta
\newcommand\ep\varepsilon
\newcommand\ph\varphi
\newcommand\ps\psi
\newcommand\si\sigma
\newcommand\ta\tau
\newcommand\la\lambda
\newcommand\rh\varrho
\newcommand\de\delta
\newcommand\ch\chi
\newcommand\ze\zeta
\newcommand\Ph\Phi

\newcommand\et{\mathbin{\&}}
\newcommand\id{\text{id}}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{sat}{Satz}[section]
\newtheorem{satdef}[sat]{Satz und Definition}
\newtheorem{notsprpro}[sat]{Notation, Sprechweise und Proposition}
\newtheorem{lem}[sat]{Lemma}
\newtheorem{pro}[sat]{Proposition}
\newtheorem{nt}[sat]{Notation}
\newtheorem{notpro}[sat]{Notation und Proposition}
\newtheorem{kor}[sat]{Korollar}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{df}[sat]{Definition}
\newtheorem{notation}[sat]{Notation}
\newtheorem{defprop}[sat]{Definition und Proposition}
\newtheorem{propdef}[sat]{Proposition und Definition}
\newtheorem{defex}[sat]{Definition und Übung}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{eri}[sat]{Erinnerung}
\newtheorem{bem}[sat]{Bemerkung}
\newtheorem{bsp}[sat]{Beispiel}
\newtheorem{exo}[sat]{Übung}
\newtheorem{mot}[sat]{Motivation}

\newcommand\cc[2]{\overline{#1}^{\substack{\\\\#2}}}

\newcommand{\case}[2]{$\begin{Bmatrix}\text{#1}\\\text{#2}\end{Bmatrix}$}

\newcommand\squarefree{\big/\hspace{-0.65em}\Box}

\newcommand\x{\underline X}

\DeclareMathOperator\Aut{Aut}
\DeclareMathOperator\irr{irr}
\DeclareMathOperator\rk{rk}
\DeclareMathOperator\ev{ev}
\DeclareMathOperator\im{im}
\DeclareMathOperator\qf{qf}
\DeclareMathOperator\Hom{Hom}
\DeclareMathOperator\constr{\mathrel \wedge \joinrel \hspace{-1.47ex}\smile}

%\usepackage{xcolor}
%\usepackage{datetime}
%\usepackage{xwatermark}
%\newwatermark[allpages,color=blue!50,angle=45,scale=0.8,coordunit=cm,xpos=-1,ypos=1]{unverifizierter Entwurf}
%\newwatermark[allpages,color=blue!50,angle=45,scale=1,xpos=0,ypos=0]{\today, \currenttime}
%\newwatermark[allpages,color=red!35,angle=45,scale=0.8,coordunit=cm,xpos=-1,ypos=1]{Entwurf}
%\newwatermark[allpages,color=red!35,angle=45,scale=1,xpos=0,ypos=0]{\today, \currenttime}

\begin{document}
\noindent
Universität Konstanz\hfill Polynomiale Optimierung\\
Fachbereich Mathematik und Statistik\hfill Sommersemester 2019\\
Markus Schweighofer
\medskip
\hrule
\begin{center}
\section*{§3.4 Optimalitätskriterien und Finden optimaler Lösungen}
\setcounter{chapter}{3}
\setcounter{section}{4}
\end{center}
\hrule

\bigskip
\begin{bem}\label{motiv}
\begin{enumerate}[(a)]
\item 3.3.19 besagt, dass man den \emph{Optimalwert} polynomialer Optimierungsprobleme mit kompakter zulässiger Menge prinzipiell
durch Momentenrelaxierungen [$\to$3.1.7] von hohem Grad beliebig genau approximieren kann, zumindest wenn man wie in 3.3.8(c)
Archimedizität hergestellt hat. Die Berechnung \emph{optimaler Lösungen}, sofern sie existieren, wurde dagegen bisher
kaum angesprochen. Ein grundlegendes Problem dabei ist, dass mit zwei Optimallösungen $x_1^*$ und $x_2^*$ des polynomialen
Optimierungsproblems $(P)$ nicht nur die Auswertungen $\ev_{x_1}\colon\R[\x]_k\to\R$ und $\ev_{x_2}\colon\R[\x]_k\to\R$ in $x_1$ und
in $x_2$  Lösungen der Momentenrelaxierung $(P_k)$ vom Grad $k$ mit Wert $P^*$ sind, sondern zum Beispiel auch
$\frac12\ev_{x_1}+\frac12\ev_{x_2}$.
\item Das in (a) angesprochene Problem ist gleichzeitig die Ursache für den Erfolg der Momentenmethode: Während man sich beim "`Absteigen"' auf dem Graphen der Zielfunktion eines polynomialen Optimierungsproblems sehr leicht
in lokalen Minima ("`Tälern"') verfängt, die keine globalen Minima sind, besteht bei der Momentenrelaxierung der geradlinige Weg
$\{\la L_1+(1-\la)L_2\mid\la\in[0,1]\}$ zwischen zwei zulässigen Lösungen $L_1$ und $L_2$ wieder aus zulässigen Lösungen. Auf dem
Weg von einem Tal in ein tiefer gelegenes Tal, muss man also nicht auf eine Passtrasse, sondern kann sich "`hinüberbeamen"'. Eine
andere Vorstellung ist ein Tunnel zwischen zwei Tälern, wobei man im Tunnel Probleme hat zu erahnen, wo die Enden
des Tunnels liegen.
\item In Bemerkung 3.1.10(c) haben wir gesehen, dass wir allgemeiner
in einer sehr guten Situation sind, wenn wir eine optimale Lösung $L$ einer
Momentenrelaxierung kennen, die eine Quadraturformel mit allen Stützstellen in der zulässigen Menge $S$
des ursprünglichen polynomialen
Optimierungsproblems $(P)$ besitzt. Ist dann $(\la_1,x_1,\dots,\la_r,x_r)$ eine solche Quadraturformel und sind \OE\ alle $\la_i>0$, so gilt
wegen $L(1)=1$, dass $\la_1+\dots+\la_r=1$ und aus
\[P^*=\sum_{i=1}^r\la_iP^*\overset{x_i\in S}\le\sum_{i=1}^r\la_if(x_i)=L(f)\le P^*\]
folgt $f(x_i)=P^*$, wobei $f$ die Zielfunktion von $(P)$ bezeichne. Jede Stützstelle $x_i$ ist also dann eine optimale Lösung von $(P)$.
Erst jetzt sprechen wir das schwierige und wichtige Problem an, wie wir versuchen können,
diese gute Situation detektieren zu können und wie wir gegebenenfalls die $x_i$ ausrechnen können.
\item Sei $k\in\N_0$ und $L\in\R[\x]^*_k$.
Wir suchen eine Quadraturformel für $L$ (falls diese existiert),
also $x_1,\dots,x_r\in\R^n$ und $\la_1,\dots,\la_r\in\R_{\ge0}$ mit
\[L(p)=\sum_{i=1}^r\la_ip(x_i)\qquad\text{für alle $p\in\R[\x]_k$}.\]
Mit etwas mehr und anderen Worten: Wir suchen $x_{11},\dots,x_{1n},\dots,x_{r1},\dots,x_{rn}\in\R$ und $a_1,\dots,a_r\in\R$ mit
\[L(p)=\sum_{i=1}^ra_i^2p(x_{i1},\dots,x_{in})\qquad\text{für alle $p\in\R[\x]_k$}\]
beziehungsweise etwas komplizierter geschrieben
\[L(p)=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}p(x_{11},\dots,x_{1n})\\&\ddots\\&&p(x_{r1},\dots,x_{rn})\end{smallmatrix}\right)
\left(\begin{smallmatrix}a_1\\\vdots\\a_r\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}a_1\\\vdots\\a_r\end{smallmatrix}\right)\right\rangle\text{ für alle $p\in\R[\x]_k$}.\]
Nochmals anders gesagt: Wir suchen $x_{11},\dots,x_{1n},\dots,x_{r1},\dots,x_{rn}\in\R$ und $a\in\R^n$ mit
\[L(p)=\left\langle p\left(\left(\begin{smallmatrix}x_{11}\\&\ddots\\&&x_{r1}\end{smallmatrix}\right),\dots,
\left(\begin{smallmatrix}x_{1n}\\&\ddots\\&&x_{rn}\end{smallmatrix}\right)\right)
a,a\right\rangle\text{ für alle $p\in\R[\x]_k$}.\]
Also suchen wir Diagonalmatrizen $D_1,\dots,D_n\in\R^{r\times r}$ and $a\in\R^r$ mit
\[L(p)=\left\langle p(D_1,\dots,D_n)a,a\right\rangle\text{ für alle }p\in\R[\x]_k,\]
wobei die Einträge der Diagonalmatrix $D_i$ die $i$-ten Koordinaten der Stützstellen sind und die Einträge von $a$ Quadratwurzeln der
Gewichte sind.
\item In (c) und (d) bleiben alle Argumente sinngemäß gültig, wenn die Quadraturformel gar keine Quadraturformel für
$L\colon\R[\x]_k\to\R$ ist, sondern nur für die Einschränkung von $L$ auf eine Untermenge von $\R[\x]_k$, die $f$ enthält. 
Im Moment beachten wir diese Erleichterung nicht weiter, obwohl sie uns später von Nutzen sein wird.
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{lem}\label{commlem}
Sie $V$ ein euklidischer Vektorraum und seien $M$ und $N$ selbstadjungierte Endomorphismen von $V$ mit $M\circ N=N\circ M$.
Dann ist jeder Eigenraum von $M$ invariant unter $N$, das heißt $N(\ker(M-\la\id_V))\subseteq\ker(M-\la\id_V)$ für alle $\la\in\R$.
\end{lem}

\begin{proof}
\OE\ $\la=0$. Sei $v\in\ker M$. Dann $M(N(v))=N(M(v))=N(0)=0$. Also $N(v)\in\ker M$.
\end{proof}

\begin{sat}
Seien $V$ ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum, $n\in\N_0$ und $M_1,\dots,M_n$ kommutierende
(das heißt $M_i\circ M_j=M_j\circ M_i$) selbstadjungierte Endomorphismen von $V$. Dann gibt es eine Orthonormalbasis
von $V$, die nur aus \emph{gemeinsamen} Eigenvektoren der $M_i$ besteht.
\end{sat}

\begin{proof}
Induktion nach $n$:

\underline{$n=0$} \checkmark

\underline{$n-1\to n\quad(n\in\N)$} Aus der Selbstadjungiertheit von $M_1$ folgt mit linearer Algebra, dass $V$ die orthogonale
Summe der Eigenräume von $M_1$ ist. Da nach \ref{commlem} jeder Eigenraum von $M_1$ invariant unter $M_2,\dots,M_n$ ist,
besitzt nach Induktionsvoraussetzung jeder solche Eigenraum eine Orthonormalbasis, die nur aus gemeinsamen Eigenvektoren
der $M_2,\dots,M_n$ besteht. Setzt man diese Basen zusammen, so erhält man eine Basis wie gewünscht.
\end{proof}

\begin{kor}[simultane Diagonalisierung kommutierender symmetrischer Matrizen]
\label{diag}
Seien $r,n\in\N_0$ und $M_1,\dots,M_n\in
S\R^{r\times r}$ mit $M_iM_j=M_jM_i$ für alle $i,j\in\{1,\dots,n\}$. Dann gibt es eine orthogonale Matrix $P\in\R^{r\times r}$ derart,
dass $P^*M_iP$ für jedes $i\in\{1,\dots,n\}$ eine Diagonalmatrix ist.
\end{kor}

\begin{bem}\label{crucrem}
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Unter Beachtung der gerade behandelten simultanen Diagonalisierung können wir Bemerkung \ref{motiv}(e) fortführen:
Sei $k\in\N_0$ und $L\in\R[\x]^*_k$. Eine Quadraturformel für $L$ zu finden, heißt, kommutierende
Matrizen $M_1,\dots,M_n\in S\R^{r\times r}$ und einen Vektor $v\in\R^r$ zu finden mit
\[(\star)\qquad L(p)=\left\langle p(M_1,\dots,M_n)v,v\right\rangle\text{ für alle }p\in\R[\x]_k.\]
wobei die Eigenwerte von $M_i$ die $i$-ten Komponenten der $r$ Stützstellen liefern. Abstrakter ausgedrückt:
Wir suchen einen \emph{endlichdimensionalen} euklidischen Raum $V$, kommutierende selbstadjungierte Endomorphismen
$M_1,\dots,M_n$ von $V$ und einen Vektor $v\in V$ mit $(\star)$, wobei die Dimension von $V$ die Anzahl der Stützstellen ist.
\item Sei $L\in\R[\x]^*$ und gelte $L(p^2)>0$ für alle $p\in\R[\x]\setminus\{0\}$. Dann finden wir ganz einfach einen
\emph{unendlichdimensionalen} euklidischen Raum $V$, kommutierende selbstadjungierte Endomorphismen
$M_1,\dots,M_n$ von $V$ und einen Vektor $v\in V$ mit
\[L(p)=\left\langle p(M_1,\dots,M_n)v,v\right\rangle\text{ für alle }p\in\R[\x].\]
Es wird nämlich $V:=\R[\x]$ vermöge
\[\langle p,q\rangle:=L(pq)\qquad(p,q\in V)
\]
zu einem euklidischen Vektorraum, die "`Multiplikationsoperatoren"'
\[M_i\colon V\to V,\ p\mapsto X_ip\] sind selbstadjungiert und
kommutieren und mit $v:=1\in\R[\x]=V$ gilt
\[L(p)=\left\langle p(M_1,\dots,M_n)v,v\right\rangle\text{ für alle }p\in V.\]
Diese geniale Konstruktion stammt von Gelfand, Neumark und Segal (GNS) [Israel Moissejewitsch Gelfand *1913 $\dagger$2009,
Mark Aronowitsch Neumark *1909 $\dagger$1978, Irving Ezra Segal *1918 $\dagger$1998].
\item Das Hauptproblem mit der Konstruktion in (b) ist, dass $V$ dort unendlichdimensional ist. Wir werden dies versuchen zu lösen,
indem wir den Multiplikationsoperator modifizieren durch Anwendung einer orthogonalen Projektion nach der Multiplikation, um den
Grad zu "`schröpfen"'. Diese Modifikation kann allerdings leicht die Eigenschaft des Kommutierens zerstören. Ein kleineres Problem
ist, dass wir in (b) $L(p^2)>0$ für alle $p\in\R[\x]\setminus\{0\}$ brauchten, weil ein Skalarprodukt positiv definit sein muss.
Wir würden gerne nur $L(p^2)\ge0$ für alle $p\in\R[\x]$ voraussetzen. Dieses Problem werden wir durch Übergang zu einem Quotienten
lösen.
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{notpro}\label{gns}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]_{2d}^*$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$. Dann ist
\[U_L:=\{p\in\R[\x]_d\mid\forall q\in\R[\x]_d:L(pq)=0\}=\{p\in\R[\x]_d\mid L(p^2)=0\}\]
ein Untervektorraum von $\R[\x]_d$, den wir als \emph{GNS-Kern} von $L$ bezeichnen und wir bezeichnen den Quotientenraum
$V_L:=\R[\x]_d/U_L$ als den \emph{GNS-Darstellungsraum} von $L$. Durch
\[\langle\overline p,\overline q\rangle_L:=L(pq)\qquad(p,q\in\R[\x]_d)
\]
wird ein Skalaprodukt auf $V_L$ definiert, welches wir als das \emph{GNS-Skalarprodukt} von $L$ bezeichnen. Dadurch wird $V_L$
zu einem endlichdimensionalen euklidischen Raum. Wir nennen die orthogonale Projektion $\pi_L$ von $V_L$ auf den
Unterraum $\{\overline p\mid p\in\R[\x]_{d-1}\}$ die \emph{GNS-Trunkierung} von $L$ (beachte $\deg0=-\infty<=d-1$). Dann ist für jedes $i\in\{1,\dots,n\}$
\[M_{L,i}\colon\pi_LV_L\to\pi_LV_L,\ \overline p\mapsto\pi_L(\overline{X_ip})\qquad(p\in\R[\x]_{d-1})\]
ein selbstadjungierter Endomorphismus von $\pi_LV_L$, den wir den \emph{$i$-ten trunkierten GNS-Multiplikationsoperator} von $L$
nennen.
\end{notpro}

\begin{proof}
Für alle $t\in\R$ und $p,q\in\R[\x]_d$ gilt
\[0\le L((p+tq)^2)=L(p^2)+2tL(pq)+t^2L(q^2),\]
weshalb das Polynom $L(q^2)T^2+2L(pq)T+L(p^2)\in\R[T]_2$ im Fall $L(pq)\ne0$ den Grad $2$ und
Diskriminante $4L(pq)^2-4L(p^2)L(q^2)\le0$ hat. Es gilt also die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
\[L(pq)^2\le L(p^2)L(q^2)\quad\text{ für alle }p,q\in\R[\x]_d.\]
Hieraus folgt sofort $\{p\in\R[\x]_d\mid\forall q\in\R[\x]_d:L(pq)=0\}=\{p\in\R[\x]_d\mid L(p^2)=0\}$.
Dass $U_L$ ein Untervektorraum von $\R[\x]_d$ ist, folgt direkt daraus, dass $L$ linear ist.
Es ist klar, dass $\langle.,.\rangle_L$ eine
wohldefinierte symmetrische Bilinearform ist, die wegen $L(\sum\R[\x]^2)\subseteq\R_{\ge0}$ positiv semidefinit ist. Hieraus folgt, dass
$\langle.,.\rangle_L$ sogar positiv definit und daher ein Skalarprodukt ist, denn ist $p\in\R[\x]_d$ mit
$\langle\overline p,\overline p\rangle_L=0$, so gilt $L(p^2)=0$ und daher $p\in U$, das heißt $\overline p=0$. Sei nun
$i\in\{1,\dots,n\}$. Um zu zeigen, dass $M_{L_i}$ wohldefiniert ist, müssen wir $\pi_L(\overline{X_ip})=0$ für alle
$p\in\R[\x]_{d-1}\cap U_L$ zeigen, was aber nach Wahl von $q\in\R[\x]_{d-1}$ mit $\overline q=\pi_L(\overline{X_ip})$ aus
\[\langle\overline q,\overline q\rangle_L=\langle\overline{X_ip},\overline q\rangle=L(X_ipq)=L(p(X_iq))
\overset{p\in U_L}=0\] folgt. Um schließlich zu zeigen, dass $M_{L,i}$ selbstadjungiert ist, seien
$p,q\in\R[\x]_{d-1}$. Dann gilt
\begin{multline*}
\langle M_{L,i}(\overline p),\overline q\rangle_L=\langle\pi_L(\overline{X_ip}),\overline q\rangle_L
=\langle\overline{X_ip},\pi_L(\overline q)\rangle_L\overset{\overline q\in\pi_LV_L}=\langle\overline{X_ip},\overline q\rangle_L=L(X_ipq)\\
=L(p(X_iq))=\langle\overline p,\overline{X_iq}\rangle_L\overset{\overline p\in\pi_LV_L}=\langle\pi_L(\overline p),\overline{X_iq}\rangle_L
=\langle\overline p,\pi_L(\overline{X_iq})\rangle_L
=\langle\overline p,M_{L,i}(\overline q)\rangle_L.
\end{multline*}
\end{proof}

\begin{bem}\label{simplerem}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]^*_{2d}$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$. Sei $p\in\R[\x]_d$. Dann gilt
\[\overline p\in\pi_LV_L\iff\overline p=\pi_L(\overline p)\iff p\in\R[\x]_{d-1}+U_L.\]
\end{bem}

\begin{lem}\label{corelemma}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]^*_{2d}$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$ derart, dass die
trunkierten GNS-Multiplikationsoperatoren von $L$ kommutieren. Dann gilt für alle $p\in\R[\x]_d$
\[p(M_{L,1},\dots,M_{L,n})(\overline1)=\pi_L(\overline p).\]
\end{lem}

\begin{proof}
\OE\ sei $p$ ein Monom, etwa $p=\x^\al$ mit $\al\in\N_0^n$, $|\al|\le d$. Wir führen Induktion
nach $k:=|\al|\in\{0,\dots,d\}$.

\underline{k=0} \quad$\id_{\pi_{V_L}}(\overline 1)=\overline 1=\pi_L(\overline1)$ \checkmark

\underline{$k-1\to k\quad(1\le k\le d)$} \quad Schreibe $p=X_iq$ mit $q\in\R[\x]$. Dann $q=\x^\be$ für ein $\be\in\N_0^n$ mit $|\be|=k-1$, also
$q(M_{L,1},\dots,M_{L,n})(\overline 1)=\pi_L(\overline q)=\overline q$ nach Induktionsvoraussetzung und Bemerkung
\ref{simplerem}. Es folgt
\begin{align*}
p(M_{L,1},\dots,M_{L,n})(\overline 1)&=(M_{L,i}\circ q(M_{L,1},\dots,M_{L,n}))(\overline1)=
M_{L,i}(q(M_{L,1},\dots,M_{L,n})(\overline1))\\
&=M_{L,i}(\overline q)=\pi_L(\overline{X_iq})=\pi_L(\overline p).
\end{align*}
\end{proof}

\begin{sat}\label{maingns}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]^*_{2d}$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$ derart, dass die
trunkierten GNS-Multiplikationsoperatoren von $L$ kommutieren und betrachte den Unterraum
\[W_L:=\left\{\sum_{i=1}^mp_iq_i\mid m\in\N_0,p_i\in\R[\x]_d,q_i\in\R[\x]_{d-1}+U_L\right\}\supseteq\R[\x]_{2d-1}\]
von $\R[\x]_{2d}$. Dann besitzt $L|_{W_L}$ eine Quadraturformel \emph{[$\to$2.3.5]}.
\end{sat}

\begin{proof}
Analog zu \ref{crucrem}(a) [$\to$\ref{motiv}(e)] reicht es zu zeigen, dass für alle $g\in W_L$ gilt
\[L(g)=\langle g(M_{L,1},\dots,M_{L,n})\overline1,\overline1\rangle_L.\]
Hierzu reicht es zu zeigen, dass für alle $p\in\R[\x]_d$ und $q\in\R[\x]_{d-1}+U_L$ gilt
\[L(pq)=\langle p(M_{L,1},\dots,M_{L,n})q(M_{L,1},\dots,M_{L,n})\overline1,\overline1\rangle_L.\]
Da die GNS-Multiplikationsoperatoren $M_{L,i}$ selbstadjungiert sind und kommutieren, ist dies gleichbedeutend mit
\[L(pq)=\langle p(M_{L,1},\dots,M_{L,n})\overline1,q(M_{L,1},\dots,M_{L,n})\overline1\rangle_L\]
für alle $p\in\R[\x]_d$ und $q\in\R[\x]_{d-1}+U_L$.  Mit Lemma \ref{corelemma} und Bemerkung \ref{simplerem} heißt dies
nichts anderes als
\[L(pq)=\langle\pi_L(\overline p),\overline q\rangle_L\]
für alle $p\in\R[\x]_d$ und $q\in\R[\x]_{d-1}+U_L$. Da $\pi_L$ als orthogonale Projektion selbstadjungiert ist, gilt schließlich
\[\langle\pi_L(\overline p),\overline q\rangle_L=\langle\overline p,\pi_L(\overline q)\rangle_L\overset{\ref{simplerem}}=
\langle\overline p,\overline q\rangle_L\overset{\ref{gns}}=L(pq).
\]
\end{proof}

\begin{bsp}
Die GNS-Multiplikationsoperatoren von
\[L\colon\R[X_1,X_2]_4\to\R,\ p\mapsto\frac14(p(-1,0)+p(1,0)+p(0,-1)+p(0,1))\]
kommutieren nicht: Man prüft leicht nach, dass $\overline 1$, $\overline{\sqrt2X_1}$, $\overline{\sqrt2X_2}$ eine Orthonormalbasis von
$\pi_LV_L$ bilden. Wir behaupten, dass $M_{L,1}(M_{L,2}(\overline X_1))\ne M_{L_2}(M_{L,1}(\overline X_1))$. In der Tat gilt
$X_1X_2\in U_L$ und daher
\[M_{L,1}(M_{L,2}(\overline X_1))=M_{L,1}(\pi_L(\overline{X_2X_1}))=M_{L,1}(\pi_L(0))=0\] und andererseits
\begin{align*}
M_{L,1}(\overline{X_1})&=\pi_L(\overline{X_1^2})=\langle\overline1,\overline{X_1^2}\rangle_L\overline1+
\underbrace{\langle\overline{\sqrt2X_1},\overline{X_1^2}\rangle_L}_{=0}\overline{\sqrt2X_1}+
\underbrace{\langle\overline{\sqrt2X_2},\overline{X_1^2}\rangle_L}_{=0}\overline{\sqrt2X_2}\\
&=L(X_1^2)\overline1=\overline{\frac12}
\end{align*}
und daher $M_{L,2}(M_{L,1}(\overline{X_1}))=M_{L,2}(\overline{\frac12})=\overline{\frac12X_2}=\frac1{2\sqrt2}\overline{\sqrt2X_2}\ne0$.
\end{bsp}

\begin{df}\label{defflat}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]^*_{2d}$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$. Man nennt $L$ \emph{flach}, wenn
$\R[\x]_{d-1}+U_L=\R[\x]_d$ [$\to$\ref{maingns}]
\end{df}

\begin{pro}
Sei $d\in\N_0$, $L\in\R[\x]^*_{2d}$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$ und $L':=L|_{\R[\x]_{2(d-1)}}$. Dann gilt
$U_{L'}=U_L\cap\R[\x]_{d-1}$ und folgende Aussagen sind äquivalent:
\begin{enumerate}[\normalfont(a)]
\item $L$ ist flach.
\item $\pi_LV_L=V_L$
\item $\forall\al\in\N_0^n:(|\al|=d\implies\exists p\in\R[\x]_{d-1}:\x^\al-p\in U_L)$
\item Die kanonische Abbildung
$$V_{L'}=\R[\x]_{d-1}/U_{L'}\hookrightarrow\R[\x]_d/U_L=V_L$$
ist ein Isomorphismus.
\item $\dim V_{L'}=\dim V_L$
\item Die "`Momentenmatrizen"' \emph{[$\to$3.1.12(f)]} $(L(\x^{\al+\be}))_{|\al|,|\be|\le d-1}$ und $(L(\x^{\al+\be}))_{|\al|,|\be|\le d}$ haben denselben Rang.
\end{enumerate}
\end{pro}

\begin{proof}
$U_{L'}=U_L\cap\R[\x]_{d-1}$ und (a)$\iff$(b)$\iff$(c)$\iff$(d)$\iff$(e) sind klar.

\medskip\noindent
\underline{(e)$\iff$(f)}\quad $(L(\x^{\al+\be})_{|\al|,|\be|\le d}$ ist die Darstellungsmatrix der Bilinearform \[\R[\x]_d\times\R[\x]_d\to\R,\
(p,q)\mapsto L(pq)\] bezüglich der Monombasis und damit die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung $\R[\x]_d\to\R[\x]_d^*,\
p\mapsto(q\mapsto L(pq))$ bezüglich der Monombasis und der dazu dualen Basis. Der Kern dieser linearen Abbildung ist $U_d$, 
weswegen die Matrix den Rang $\dim\R[\x]_d-\dim U_d=\dim(\R[\x]/U_d)=\dim(V_d)$ hat. Analoges gilt für
$(L(\x^{\al+\be})_{|\al|,|\be|\le d-1}$.
\end{proof}

\begin{sat}\label{flatcommutes}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]_{2d}^*$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$. Ist $L$ flach, so kommutieren die
GNS-Multiplikationsoperatoren von $L$.
\end{sat}

\begin{proof}
Seien $L$ flach, $i,j\in\{1,\dots,n\}$ und $p\in\R[\x]_{d-1}$. Zu zeigen:
\[M_{L,i}(M_{L_j}(\overline p))=M_{L,j}(M_{L,i}(\overline p)).\]
Schreibe $X_ip=p'+q'$ und $X_jp=p''+q''$ mit $p',p''\in\R[\x]_{d-1}$ und $q',q''\in U_L$. Dann gilt
$M_{L,i}(\overline p)=\pi_L(\overline{X_ip})=\pi_L(\overline{p'})+\pi_L(\overline{q'})=\overline{p'}+0=\overline{p'}$
und analog $M_{L,j}(\overline p)=\overline{p''}$. Es ist also $\pi_L(\overline{X_ip''})=\pi_L(\overline{X_jp'})$ zu zeigen.
Hierzu reicht es \[\langle\pi_L(\overline{X_ip''}),\overline f\rangle=\langle\pi_L(\overline{X_jp'}),\overline f\rangle_L\] für alle $f\in\R[\x]_d$
zu zeigen. Sei also $f\in\R[\x]_d$ und $g\in\R[\x]_{d-1}$ mit $\overline g=\pi_L(\overline f)$. Dann
\begin{align*}
\langle\pi_L(\overline{X_ip''}),\overline f\rangle_L&=\langle\overline{X_ip''},\pi_L(\overline f)\rangle_L=
\langle\overline{X_ip''},\overline g\rangle_L=L(X_ip''g)=\langle\overline{p''},\overline{X_ig}\rangle_L\\
&=\langle\overline{X_jp},\overline{X_ig}\rangle_L
=L(X_jpX_ig)=L(X_ipX_jg)=\langle\overline{X_ip},\overline{X_jg}\rangle_L\\
&=\langle\overline{p'},\overline{X_jg}\rangle_L=L(p'X_jg)=\langle\overline{X_jp'},\overline g\rangle_L=
\langle\overline{X_jp'},\pi_L(\overline f)\rangle_L=\langle\pi_L(\overline{X_jp'}),\overline f\rangle_L.
\end{align*}
\end{proof}

\begin{sat}[Curto und Fialkow]{\normalfont[Raul Curto, Lawrence Fialkow]}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]_{2d}^*$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$. Ist $L$ flach, so besitzt $L$ eine Quadraturformel.
\end{sat}

\begin{proof}
\ref{maingns}, \ref{defflat} und \ref{flatcommutes}
\end{proof}
\end{document}