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\bezweitrue % did read B2 for these students
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%\bedreitrue % did read B3 for these students

\begin{document}
\noindent
Universität Konstanz\hfill Zahlentheorie\\
Fachbereich Mathematik und Statistik\hfill Sommersemester 2019\\
Markus Schweighofer
\medskip
\hrule
\begin{center}
\section*{§2.2 Dedekindringe \scriptsize[Julius Wilhelm Richard Dedekind *1831 $\dagger$1916]}
\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{section}{2}
\end{center}
\hrule

\bigskip
\begin{eri} \label{rappel}
Sei $R$ ein kommutativer Ring.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ein Ideal $\p$ in $R$ heißt prim (oder Primideal), wenn \ifbedrei [$\to$A2.4.2]\fi
\[1\notin\p\text{ und }\forall a,b\in R:(ab\in\p\implies(a\in\p\text{ oder }b\in\p)).\]
\item Ein Element $p\in R$ heißt prim (oder Primelement), wenn $(p)$ ein Primideal ist, das heißt \ifbezwei[$\to$LA16.4.1]\fi
\[p\notin R^\times\text{ und }\forall a,b\in R:(p|ab\implies(p|a\text{ oder }p|b)).\]
\item Sind $I_1,\dots,I_n$ Ideale von $R$, so nennt man
\begin{align*}
\prod_{k=1}^nI_k&:=I_1\dotsm I_n:=(\{a_1\dotsm a_n\mid a_1\in I_1,\dots,a_n\in I_n\})\\
&=
\begin{cases}
R&\text{falls }n=0\\
\left\{\sum_ia_{i1}\dotsm a_{in}\mid a_{i1}\in I_1,\dots,a_{in}\in I_n\right\}&\text{falls }n\ge1
\end{cases}
\end{align*}
deren \emph{Produkt}\ifbedrei [$\to$A2.8.1]\fi.
.
\item In Integritätsringen sind Primfaktorzerlegungen (im Wesentlichen) eindeutig, das heißt ist $R$ Integritätsring, $m,n\in\N_0$ und
sind $p_1,\dots,p_m,q_1,\dots,q_n\in R\setminus\{0\}$ prim mit $p_1\dotsm p_m=q_1\dotsm q_n$, so gilt $m=n$ und es gibt $\si\in S_n$
mit $(p_i)=(q_{\si(i)})$ für $i\in\{1,\dots,n\}$ \ifbezwei[$\to$LA16.4.13] \fi (vergleiche auch 1.4.17(b)).
\item $R$ heißt faktoriell, wenn $R$ ein Integritätsring ist und jedes $a\in R$ eine Primfaktorzerlegung besitzt, das heißt es gibt
$c\in R^\times$, $n\in\N_0$ und Primelemente $p_1,\dots,p_n\in R$ mit $a=cp_1\dotsm p_n$ \ifbezwei[$\to$LA16.4.14]\fi.
\item
$
\text{$R$ euklidisch}\overset{\text{1.6.3}}\implies\text{$R$ Hauptidealring}
\ifbezwei\overset{\text{LA16.4.19}}\implies\else\implies\fi\text{$R$ faktoriell}
\overset{\text{per Def.}}\implies\text{$R$ Integritätsring}
$
\end{enumerate}
\end{eri}

\begin{bsp}
Wegen $-5\equiv_{(4)}-1\equiv_{(4)}3$ sind $\Z[\sqrt{-1}]=\Z[\i]$ und $\Z[\sqrt{-5}]=\Z[\sqrt5\i]$ quadratische Zahlringe [$\to$2.1.17]. Der Beweis von 1.6.2(c) dafür, dass $\Z[\sqrt{-1}]$ euklidisch ist, funktioniert für $\Z[\sqrt{-5}]$ nicht mehr, da man nur noch
$\left|\frac ab-q\right|^2\le\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt5}2\right)^2=\frac14+\frac54=\frac64$ erhält, aber $\frac64\ge1$ ist (siehe Bild unten).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5,cross/.style={draw, cross out,
  minimum size=2*(#1-1pt), inner sep=0pt, outer sep=0pt}, x=.5cm, y=.5cm]
   % Kreis zeichnen
   \draw (0,0) circle (2);
   % Achsen zeichnen
   \draw[->,thick] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$\R$};
   \draw[->,thick] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$\i\R$};
   % Achsen beschriften
   \foreach \x in {-3,...,3}
   \draw (\x,-.2) -- (\x,.2) node[below=4pt] {$\scriptstyle\x$};
   \foreach \y in {-2,...,2}
   \draw (-.2,\y) -- (.2,\y) node[left=4pt] {$\scriptstyle\y\i$};
    % Punkte zeichnen
    \foreach \x in {-3,...,3}
    \foreach \y in {-1,0,1}
    \draw[fill] (\x,2.2360679775*\y) circle (.1);
    % rechtwinkliges Dreieck
    \draw (-2.7,1)--(-3,1)--(-3,2.2360679775)--cycle;
    \draw[very thick] (-2.7,1-0.1)-- (-2.7,1+0.1);
    \draw[very thick] (-2.7-0.1,1)-- (-2.7+0.1,1);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tatsächlich ist $\Z[\sqrt{-5}]$ nicht einmal faktoriell, denn $2$ besitzt darin keine Primfaktorzerlegung, weil sonst $2$ prim in $\Z[\sqrt{-5}]$
sein müsste (siehe Bild oben), was aber nicht der Fall ist, denn $2|6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$, aber $2\not|(1+\sqrt{-5})$ und
$2\not|(1-\sqrt{-5})$ in $\Z[\sqrt{-5}]$. Andererseits besitzt $(2)$ eine \emph{Primidealzerlegung}, das heißt ist Produkt von Primidealen,
denn $(2,1+\sqrt{-5})\subseteq\Z[\sqrt{-5}]$ ist ein Primideal mit $(2,1+\sqrt{-5})^2=(2,1+\sqrt{-5})(2,1+\sqrt{-5})=(4,2+2\sqrt{-5},1+2\sqrt{-5}-5)=(4,2+2\sqrt{-5},2\sqrt{-5})=(4,2,2\sqrt{-5})=(2)$. Dass $(2,1+\sqrt{-5})$ prim (sogar maximal) ist, folgt daraus, dass es der Kern des Ringhomomorphismus
\[\ph\colon\Z[\sqrt{-5}]\to\F_2,\ a+b\sqrt{-5}\mapsto\overline{a+b}\qquad(a,b\in\Z)\]
ist, wie man unter Beachtung von $\ph(\sqrt{-5})^2=1=-5$ in $\F_2$ sofort nachrechnet.
\end{bsp}

\begin{mot} Zahlringe spielen eine wichtige Rolle bei der Untersuchung arithmetischer Eigenschaften von $\Z$. Leider sind sie nicht immer
faktoriell. Der Ausweg wird sein, statt Elementen Ideale und statt Primelementen Primideale zu betrachten.
\end{mot}

\begin{df}\mbox{}[vergleiche \ref{rappel}(e)] Ein Integritätsring heißt \emph{Dedekindring}, wenn darin jedes Ideal ein Produkt von Primidealen ist.
\end{df}

\begin{bsp} Jeder Hauptidealring ist ein Dedekindring.
\end{bsp}

\begin{df}
Sei $A$ ein Integritätsring. Ein \emph{gebrochenes Ideal} von $A$ ist ein $A$-Unter\-modul $I$ von $\qf(A)$ mit $sI\subseteq A$ für ein
$s\in A\setminus\{0\}$. Zyklische [$\to$1.1.4(d)] gebrochene Ideale nennt man \emph{gebrochene Hauptideale}.
\end{df}

\begin{bem}\label{fractional}
Sei $A$ ein Integritätsring.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Jedes gebrochene Ideal von $A$ ist als $A$-Modul isomorph zu einem Ideal von $A$ (ist nämlich $s\in A\setminus\{0\}$ mit
$sI\subseteq A$, so $I\overset\cong\longrightarrow sI,\ a\mapsto sa$). 
\item Die gebrochenen Ideale von $A$ sind genau die $s^{-1}I$ ($s\in A\setminus\{0\}$, $I$ ein Ideal von $A$).
\item $A$ ist ein Hauptidealring genau dann, wenn jedes gebrochene Ideal von $A$ ein gebrochenes Hauptideal von $A$ ist.
\item Jeder endlich erzeugte $A$-Untermodul von $\qf(A)$ ist ein gebrochenes Ideal.
\item Ist $A$ noethersch, so sind die gebrochenen Ideale von $A$ genau die endlich erzeugten $A$-Untermoduln von $\qf(A)$.
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{propdef}
Seien $A$ ein Integritätsring und $I,J$ gebrochene Ideale von $A$. Dann sind auch $I+J$, $I\cap J$,
$IJ:=\{\sum_ia_ib_i\mid a_i\in I,b_i\in J\}$ und für $J\ne0$ auch $I:J:=\{a\in\qf(A)\mid aJ\subseteq I\}$ gebrochene Ideale von $A$.
\end{propdef}

\begin{proof}
Mit $I$ und $J$ sind auch $I+J$, $I\cap J$ (trivial!), $IJ$ und $I:J$ $A$-Untermoduln von $\qf(A)$ (nachrechnen!). Sind
$s,t\in A\setminus\{0\}$ mit $sI\subseteq A$ und $tJ\subseteq A$, so $st(I+J)\subseteq A$, $s(I\cap J)\subseteq A$ und
$(st)IJ\subseteq A$. Ist ferner $J\ne0$, so gibt es $b\in J\cap(A\setminus\{0\})$ und es gilt für $a\in I:J$, dass
$(sb)a=s(ab)\in s(aJ)\subseteq sI\subseteq A$, also $sb(I:J)\subseteq A$.
\end{proof}

\begin{defprop}\label{inversable}
Sei $A$ ein Integritätsring und $I$ ein gebrochenes Ideal von $A$. Dann heißt $I$ \emph{invertierbar}, wenn es ein gebrochenes Ideal $J$ von $A$ gibt mit $IJ=A$. In diesem Fall gilt $J=I^{-1}:=A:I$ und $I$ und $J$ sind endlich erzeugt.
\end{defprop}

\begin{proof}
Gelte $IJ=A$. Dann $J\subseteq A:I=(A:I)IJ\subseteq AJ=J$, also $J=A:I$. Schreibe $1=\sum_ia_ib_i$ mit $a_i\in I$ und $b_i\in J$.
Dann \[I=\left(\sum_ia_ib_i\right)I=\sum_i\underbrace{(b_iI)}_{\subseteq A}a_i\subseteq\sum_iAa_i\subseteq I,\] womit
$I=\sum_iAa_i$ endlich erzeugt ist. Analog für $J$.
\end{proof}

\begin{bsp}\label{bsp-haupt}
Jedes gebrochene Hauptideal $\ne0$ eines Integritätsrings ist invertierbar.
\end{bsp}

\begin{sat}\label{unicite}
\emph{[Eindeutigkeit der Primidealzerlegung invertierbarer Ideale, unter Beachtung von \ref{bsp-haupt} und \ref{rappel}(b) Verallgemeinerung von \ref{rappel}(d)]}
Sei $A$ ein Integritätsring und $I$ ein Ideal in $A$, was als gebrochenes Ideal invertierbar ist. Seien $m,n\in\N_0$ und
$\p_1,\dots,\p_m,\q_1,\dots,\q_n$ Primideale in $A$ mit
\[\p_1\dotsm\p_m=I=\q_1\dotsm\q_n.\]
Dann gilt $m=n$ und es gibt $\si\in S_n$ mit $\p_i=\q_{\si(i)}$ für alle $i\in\{1,\dots,n\}$.
\end{sat}

\begin{proof} Induktion nach $m$.

\underline{$m=0$} $\checkmark$

\underline{$m-1\to m$ ($m\in\N$)} Mit $I$ sind alle $\p_i$ und $\q_j$ invertierbar. Aus $\q_1\dotsm\q_n\subseteq\p_1$ folgt, dass es ein $j$
mit $\q_j\subseteq\p_1$ gibt (insbesondere $n\ge1$), denn andernfalls gäbe es $b_1\in\q_1\setminus\p_1,\dots,b_n\in\q_n\setminus\p_1$
und $b_1\dotsm b_n\in\q_1\dotsm\q_n\setminus\p_1\ \lightning$. \OE\ $j=1$. Nun ist $\p_1^{-1}\q_1$ ein Ideal von $A$, denn
$\p_1^{-1}\q_1\subseteq\p_1^{-1}\p_1=A$, weshalb $\p_1(\p_1^{-1}\q_1)=\q_1$ impliziert, dass $\p_1\subseteq\q_1$ oder
$\p_1^{-1}\q_1\subseteq\q_1$, aber letzteres ist unmöglich, da sonst
$A=\p_1\p_1^{-1}\q_1\q_1^{-1}\subseteq\p_1\q_1\q_1^{-1}=\p_1\ \lightning$. Also $\q_1\subseteq\p_1\subseteq\q_1$ und daher
$\p_1=\q_1$. Somit $\p_2\dotsm\p_m=I\p_1^{-1}=\q_2\dotsm\q_m$. Wende nun IV an.
\end{proof}

\begin{sat}
Sei $A$ ein Dedekindring. Dann gilt:
\begin{enumerate}[\normalfont(a)]
\item Jedes Ideal $\ne(0)$ von $A$ ist invertierbar. \emph{[$\to$\ref{inversable}]}
\item $A$ ist ganz abgeschlossen. \emph{[$\to$2.1.12(b)]}
\item $A$ ist noethersch. \emph{[$\to$1.4.2(a)]}
\item In $A$ ist jedes Primideal $\ne(0)$ maximal.
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof}
\emph{Behauptung 1:} Jedes invertierbare Primideal von $A$ ist maximal [in (d) wird dies sogar für alle Primideale $\ne(0)$ behauptet].

\smallskip\noindent
\emph{Begründung:} Sei $\p$ ein invertierbares Primideal von $A$. Wir zeigen, dass $A/\p$ ein Körper ist\ifbedrei [$\to$A2.4.4]\fi.
Sei hierzu $a\in A$ mit $\overline a\ne0$ in $A/\p$, das heißt $a\notin\p$. Zu zeigen: $\overline a\in(A/\p)^\times$. Es reicht, $I:=aA+\p=A$ zu zeigen.
Da $\p$ invertierbar ist, reicht es $a\p+\p^2=\p$ zu zeigen.
Wir zeigen zunächst $I^2=J:=a^2A+\p$, was wegen $I^2=a^2A+a\p+\p^2$ eine Abschwächung der Behauptung ist. Wir wissen
$(I/\p)^2=J/\p$. Da $A$ ein Dedekindring ist, gibt es $m,n\in\N_0$ und Primideale $\p_1,\dots,\p_m,\q_1,\dots,\q_n$
von $A$ mit $I=\p_1\dotsm\p_m$ und $J=\q_1\dotsm\q_n$. Es gilt $\p\subseteq I\subseteq\p_i$
für alle $i\in\{1,\dots,m\}$ und $\p\subseteq J\subseteq\q_j$ für alle $j\in\{1,\dots,n\}$. Da die Primideale in $A/\p$ den Primidealen von $A$
entsprechen, die $\p$ enthalten, erhalten wir im Integritätsring $A/\p$ die Primidealzerlegungen
$I/\p=(\p_1/\p)\dots(\p_m/\p)$ und $J/\p=(\q_1/\p)\dotsm(\q_n/\p)$. Es folgt
$(\p_1/\p)^2\dotsm(\p_m/\p)^2=(I/\p)^2=J/\p=(\q_1/\p)\dotsm(\q_n/\p)$. Da $J/\p=(\overline a^2)\ne0$ als Hauptideal nach \ref{bsp-haupt}
invertierbar ist, folgt mit
\ref{unicite} \OE\ $(\p_1/\p,\p_1/\p,\dots,\p_m/\p,\p_m/\p)=(\q_1/\p,\dots,\q_n/\p)$ und daher
\[(\p_1,\p_1,\dots,\p_m,\p_m)=(\q_1,\dots,\q_n).\] Also $I^2=J$. Um schließlich $a\p+\p^2=\p$ zu zeigen, sei $b\in\p$. Zu zeigen:
$b\in a\p+\p^2$. Wegen $b\in J$ gilt $b\in I^2=a^2A+a\p+\p^2$. Schreibe $b=a^2c+b'$ mit $c\in A$ und $b'\in a\p+\p^2$. Dann
$a^2c=b-b'\in\p$ und daher $c\in\p$. Somit auch $b\in a\p+\p^2$.

\medskip\noindent
\emph{Behauptung 2:} Jedes Primideal $\ne(0)$ von $A$ ist invertierbar [in (a) wird dies sogar für alle Ideale $\ne(0)$ behauptet].

\smallskip\noindent
\emph{Begründung.} Sei $\p\ne(0)$ ein Primideal von $A$. Wähle $a\in\p\setminus\{0\}$. Schreibe $aA=\p_1\dotsm\p_n$ mit Primidealen
$\p_1,\dots,\p_n$ von $A$. Da $aA$ invertierbar ist [$\to$2.2.10] ist es auch jedes $\p_i$. Wegen $\p_1\dotsm\p_n\subseteq\p$ ist
aber $\p$ eines dieser $\p_i$, denn es gibt ein $i$ mit $\p_i\subseteq\p$ und $\p_i$ ist maximal nach Behauptung 1.

\medskip\noindent
Wegen der Existenz von Primidealzerlegungen in $A$ folgt aus Behauptung 2 sofort (a). Damit ist Behauptung 1 gleichbedeutend
mit (d). Aus (a) folgt (c) mit \ref{inversable}. Um schließlich (b) zu zeigen, sei $a\in\qf(A)$ ganz über $A$. Dann ist $A[a]$ ein endlich erzeugter
$A$-Modul [$\to$2.1.5] und damit ein gebrochenes Ideal von $A$ [$\to$\ref{fractional}(d)], das nach (a) invertierbar ist. Aus $A[a]^2\subseteq
A[a]$ folgt daher $A[a]\subseteq A$ und daher $a\in A$ wie gewünscht.
\end{proof}

\end{document}