%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
% compiled under MacTEX-2018 (TeXLive-2018)
\documentclass{scrreprt}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[sc]{mathpazo}

\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{calrsfs}  % improve mathcal

\newif\ifbezwei
\bezweifalse % did not read B2 for these students
%\bezweitrue % did read B2 for these students

%\usepackage{lmodern}
\usepackage[sc]{mathpazo}

\usepackage[ngerman]{babel}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{hyperref}

\usepackage{ushort}
\newcommand\x{\ushort X}
\newcommand\y{\ushort Y}


\usepackage{hyperref}

% \usepackage{tikz-cd} % for commutative diagrams

\usepackage{stmaryrd} % for \mapsfrom or \lightning
\renewcommand{\i}{\overset\circ\imath} % the complex imaginary unit

\newcommand\N{\mathbb N}
\newcommand\Z{\mathbb Z}
\newcommand\Q{\mathbb Q}
\newcommand\R{\mathbb R}
\newcommand\C{\mathbb C}
\renewcommand\H{\mathbb H}
\renewcommand\P{\mathbb P}
\newcommand\F{\mathbb F}
\newcommand\A{\mathbb A}
\newcommand\lex{\text{lex}}

\newcommand\p{\mathfrak p}
\newcommand\q{\mathfrak q}
\renewcommand\O{\mathcal O}

\newcommand\al{\alpha}
\newcommand\de{\delta}
\newcommand\si{\sigma}
\newcommand\ph{\varphi}
\newcommand\ps{\psi}

\newcommand\et{\mathbin{\&}}
\newcommand\id{\text{id}}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{sat}{Satz}[section]
\newtheorem{satdef}[sat]{Satz und Definition}
\newtheorem{notsprpro}[sat]{Notation, Sprechweise und Proposition}
\newtheorem{lem}[sat]{Lemma}
\newtheorem{pro}[sat]{Proposition}
\newtheorem{nt}[sat]{Notation}
\newtheorem{notpro}[sat]{Notation und Proposition}
\newtheorem{kor}[sat]{Korollar}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{alg}[sat]{Algorithmus}
\newtheorem{df}[sat]{Definition}
\newtheorem{notation}[sat]{Notation}
\newtheorem{defprop}[sat]{Definition und Proposition}
\newtheorem{propdef}[sat]{Proposition und Definition}
\newtheorem{defex}[sat]{Definition und Übung}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{eri}[sat]{Erinnerung}
\newtheorem{bem}[sat]{Bemerkung}
\newtheorem{bsp}[sat]{Beispiel}
\newtheorem{exo}[sat]{Übung}
\newtheorem{mot}[sat]{Motivation}

\newcommand\cc[2]{\overline{#1}^{\substack{\\\\#2}}}

\newcommand{\case}[2]{$\begin{Bmatrix}\text{#1}\\\text{#2}\end{Bmatrix}$}

\newcommand\rd[2]{\overset{#1}{\underset{#2}\longrightarrow}}

\DeclareMathOperator\ev{ev}
\DeclareMathOperator\lcm{lcm}
\DeclareMathOperator\rk{rk}
\DeclareMathOperator\red{red}
\DeclareMathOperator\spol{spol}
\DeclareMathOperator\LM{LM}
\DeclareMathOperator\LC{LC}
\DeclareMathOperator\Hom{Hom}
\DeclareMathOperator\constr{\mathrel \wedge \joinrel \hspace{-1.47ex}\smile}

%\usepackage{xcolor}
%\usepackage{datetime}
%\usepackage{xwatermark}
%\newwatermark[allpages,color=blue!50,angle=45,scale=0.8,coordunit=cm,xpos=-1,ypos=1]{unverifizierter Entwurf}
%\newwatermark[allpages,color=blue!50,angle=45,scale=1,xpos=0,ypos=0]{\today, \currenttime}
%\newwatermark[allpages,color=red!35,angle=45,scale=0.8,coordunit=cm,xpos=-1,ypos=1]{Entwurf}
%\newwatermark[allpages,color=red!35,angle=45,scale=1,xpos=0,ypos=0]{\today, \currenttime}

\begin{document}
\noindent
Universität Konstanz\hfill Algorithmische Algebraische Geometrie\\
Fachbereich Mathematik und Statistik\hfill Wintersemester 2019/2020\\
Markus Schweighofer

\medskip
\hrule
\begin{center}
\section*{§2.7 Eliminationsideale und deren Anwendungen}
\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{section}{7}
\end{center}
\hrule

\bigskip\noindent
In diesem Abschnitt sei stets $C|K$ eine Körpererweiterung und $C$ algebraisch abgeschlossen.

\bigskip
\begin{df}\label{defeli}
Sei $I\subseteq K[\x]$ ein Ideal und $r\in\{0,\dots,n\}$. Dann heißt das Ideal $I_r:=I\cap K[X_{r+1},\dots,X_n]$ von $K[X_{r+1},\dots,X_n]$
das \emph{$r$-te Eliminationsideal} von $I$.
\end{df}

\begin{sat}[geometrische Bedeutung der Eliminationsideale]\label{geoelim}
Sei $I\subseteq K[\x]$ ein Ideal, $r\in\{0,\dots,n\}$ und $\pi\colon\A^n\to\A^{n-r},\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto(x_{r+1},\dots,x_n)$. Dann gilt
\[V(I_r)=\overline{\pi(V(I))}\] (bezüglich der $K$-Zariskitopologie auf $\A^{n-r}$ \emph{[$\to$1.4.2]}), das heißt $V(I_r)$ ist die kleinste $K$-Untervarietät von $\A^{n-r}$, die $\pi(V(I))$ umfasst.
\end{sat}

\begin{proof} "`$\supseteq$"' folgt aus der offensichtlichen Tatsache $\pi(V(I))\subseteq V(I_r)$ zusammen mit der Abgeschlossenheit von $V(I_r)$.

\smallskip\noindent
"`$\subseteq$"'\quad Sei $x\in V(I_r)$. Nach 1.4.7 gilt $\overline{\pi(V(I))}=V(I(\pi(V(I)))$, weswegen es reicht zu zeigen, dass für jedes
$f\in I(\pi(V(I))$ gilt $f(x)=0$. Sei also $f\in I(\pi(V(I))$. Fasst man $f$ als Polynom in $K[\x]$ auf, so gilt offenbar $f\in I(V(I))$.
Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz 1.3.9 gilt aber $I(V(I))=\sqrt I$, also $f^k\in I$ für ein $k\in\N$. Da $f$ in $K[X_{r+1},\dots,X_n]$ liegt,
gilt dies natürlich auch für $f^k$. Also $f^k\in I_r$. Somit $f^k(x)=0$ und daher $f(x)=0$. 
\end{proof}

\begin{sat}\label{elimcomp}
Sei $I\subseteq K[\x]$ ein Ideal und $G$ eine Gröbnerbasis von $I$ bezüglich der lexikographischen Ordnung $\le_\lex$
auf $[\x]$ \emph{[$\to$2.1.5(a)]}. Für $r\in\{0,\dots,n\}$ ist $G_r:=G\cap K[X_{r+1},\dots,X_n]$ eine Gröbnerbasis des $r$-ten Eliminationsideals
$I_r$ bezüglich $\le_\lex$.
\end{sat}

\begin{proof} Wir wenden die Charakterisierung von Gröbnerbasen eines Ideals aus 2.4.7(f) an. Sei also $r\in\{0,\dots,n\}$ und $p\in I_r$.
Zu zeigen ist die Existenz eines $g\in G_r\setminus\{0\}$ mit $\LM(g)|\LM(p)$. Da $p\in I$ und $G$ eine Gröbnerbasis von $I$ ist, gibt es
$g\in G\setminus\{0\}$ mit $\LM(g)|\LM(p)$. Wegen $p\in K[X_{r+1},\dots,X_n]$ gilt $\LM(p)\in[X_{r+1},\dots,X_n]$ und daher auch
$\LM(g)\in[X_{r+1},\dots,X_n]$. Nach Definition von $\le_\lex$ folgt daraus $g\in K[X_{r+1},\dots,X_n]$, also $g\in G_j$.
\end{proof}

\begin{bem}
Offensichtlich bleibt Satz 2.7.3 richtig, wenn man statt $\le_\lex$ eine beliebige Monomordnung $\le$ auf $[\x]$ benutzt mit
$u<X_i$ für alle $u\in[X_{r+1},\ldots,X_n]$ und $i\in\{1,\dots,r\}$.
\end{bem}

\begin{sat}\label{compalgrel}
Seien $f_1,\dots,f_m,g_1,\dots,g_s\in K[X_1,\dots,X_n]$. Betrachte den $K$-Algebren\-homo\-morphismus
\[\ph\colon K[Y_1,\dots,Y_m]\to K[X_1,\dots,X_n]/(g_1,\dots,g_s),\ p\mapsto\overline{p(f_1,\dots,f_m)}.\]
\begin{enumerate}[\normalfont(a)]
\item Der Kern von $\ph$ ist das Eliminationsideal $J:=I\cap K[\y]$ von \[I:=(f_1-Y_1,\dots,f_m-Y_m,g_1,\dots,g_s)\subseteq K[\x,\y].\]
\item Sei $G$ eine Gröbnerbasis von $I$ bezüglich der lexikographischen Ordnung auf $[\x,\y]$. Dann ist $G\cap K[\y]$ eine Gröbnerbasis von
$J$ bezüglich der lexikographischen Ordnung auf $[\y]$. Sei $q\in K[\x]$ und $p\in K[\x,\y]$ reduziert modulo $G$ bezüglich
$\le_\lex$ mit $q\rd*Gp$. Gilt dann $p\in K[\y]$, so $\ph(p)=\overline q$, und andernfalls $\ph^{-1}(\overline q)=\emptyset$.
\item Der $K$-Morphismus $\ph^*\colon V(g_1,\dots,g_s)\to\A^m$ \emph{[$\to$1.5.11]} ist gegeben durch $\ph^*(x)=(f_1(x),\dots,f_m(x))$ für
$x\in V(g_1,\dots,g_s)$ und der $K$-Zariskiabschluss seines Bildes ist $V(J)$.
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof} Man zeigt leicht
\[(*)\qquad I\cap K[\x]=(g_1,\dots,g_s),\]
denn "`$\supseteq$"' ist trivial und für "`$\subseteq$"' muss man nur den $K$-Algebrenhomomorphismus
$K[\x,\y]\to K[\x],\ X_i\mapsto X_i,\ Y_j\mapsto f_j$ anwenden.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ist $p\in J$, so $p(f_1,\dots,f_m)\equiv_Ip(Y_1,\dots,Y_m)=p\equiv_I0$ und daher
$p(f_1,\dots,f_m)\in I\cap K[\x]\overset{(*)}=(g_1,\dots,g_s)$, das heißt $\ph(p)=0$. Dies zeigt $J\subseteq\ker\ph$. Ist umgekehrt $p\in\ker\ph$,
so $p=p(Y_1,\dots,Y_m)\equiv_Ip(f_1,\dots,f_m)\equiv_I0$ und daher $p\in I\cap K[\y]=J$. Dies zeigt $\ker\ph\subseteq J$.
\item Der erste Teil der Aussage folgt aus Satz \ref{elimcomp}. Sei nun $q\in K[\x]$ und sei $p\in K[\x,\y]$ reduziert modulo $G$ bezüglich
$\le_\lex$ mit $q\rd*Gp$. Gilt dann $p\in K[\y]$, so $p(f_1,\dots,f_m)\equiv_Ip(Y_1,\dots,Y_m)=p\overset{G\subseteq I}\equiv_Iq$ und daher
\[p(f_1,\dots,f_m)-q\in I\cap K[\x]\overset{(*)}=(g_1,\dots,g_s),\] das heißt $\ph(p)=\overline q$. Gelte schließlich $\ph^{-1}(\overline q)\ne\emptyset$. Zu zeigen ist
dann $p\in K[\y]$. Wähle $p_0\in K[\y]$ mit $\ph(p_0)=\overline q$. Dann $p_0=p_0(Y_1,\dots,Y_m)\equiv_Ip_0(f_1,\dots,f_m)\equiv_Iq$
und da $\rd{}G$ nach 2.4.2 eindeutig reduziert, muss $p_0\rd*Gp$ gelten. Nach Wahl der Monomordnung $\le_\lex$ kann während dieser
Reduktion zu keinem Zeitpunkt ein $X_i$ eingeschleppt werden, das heißt $p_0\rd*{G\cap K[\y]}p$ und insbesondere $p\in K[\y]$.
\item Für alle $x\in V(g_1,\dots,g_s)$ gilt $\ev_{\ph^*(x)}=\ev_x\circ\ph$ und daher
\begin{align*}
\ph^*(x)&=(\ev_{\ph^*(x)}(Y_1),\dots,\ev_{\ph^*(x)}(Y_m))\\
&=(\ev_x(\ph(Y_1)),\dots,\ev_x(\ph(Y_m)))\\
&=(\ev_x(\overline{f_1}),\dots,\ev_x(\overline{f_m}))\\
&=(f_1(x),\dots,f_m(x))
\end{align*}
für $x\in V(g_1,\dots,g_s)$. Sei $h\in K[\y]$. Dann
\begin{align*}
h\in I(\ph^*(V(g_1,\dots,g_s))&\iff\forall x\in V(g_1,\dots,g_s):h(\ph^*(x))=0\\
&\iff\forall x\in V(g_1,\dots,g_s):h(f_1(x),\dots,f_m(x))=0\\
&\iff h(f_1,\dots,f_m)\in I(V(g_1,\dots,g_s))\\
&\overset{\text{1.3.9}}\iff h(f_1,\dots,f_m)\in\sqrt{(g_1,\dots,g_s)}\\
&\iff\exists k\in\N:(h(f_1,\dots,f_m))^k\in(g_1,\dots,g_s)\\
&\iff\exists k\in\N:h^k(f_1,\dots,f_m)\in(g_1,\dots,g_s)\\
&\iff\exists k\in\N:\ph(h^k)=0\\
&\iff\exists k\in\N:h^k\in\ker\ph\\
&\iff\exists k\in\N:h^k\in J\\
&\iff h\in\sqrt J.
\end{align*}
Es folgt $\sqrt J=I(\ph^*(V(g_1,\dots,g_s))$ und daher \[V(J)\overset{\text{1.2.3}}=V(\sqrt J)=V(I(\ph^*(V(g_1,\dots,g_s))))
\overset{\text{1.4.7}}=\overline{\ph^*(V(g_1,\dots,g_s))}.\]
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bem} Man überlegt sich leicht, dass Satz \ref{compalgrel} im Wesentlichen folgende Probleme löst:
\begin{enumerate}[(a)]
\item Berechnung des Kerns eines Homomorphismus zwischen zwei affinen $K$-Algebren.
\item Entscheidung, ob ein Element im Bild eines Homomorphismus zwischen zwei affinen $K$-Algebren liegt, und gegebenenfalls Berechnung
eines Urbilds.
\item Beschreibung des $K$-Zariskiabschlusses des Bildes eines $K$-Morphismus von affinen Varietäten.
\end{enumerate}
Beachte nämlich, dass man in (a) und in (b) \OE\ davon ausgehen kann, dass der $K$-Algebrenhomomorphismus auf einer Polynomalgebra
definiert ist [$\to$1.1.22(c)] und dass jeder $K$-Algebrenhomomorphismus $K[\y]\to K[\x]/(g_1,\dots,g_s)$ von der in \ref{compalgrel}
gegebenen Form ist (wähle $f_i\in K[\x]$ mit $\ph(Y_i)=\overline{f_i}$).
\end{bem}

\begin{sat}[Implizitierung rationaler Parametrisierungen] Seien $f_1,\dots,f_m,g_1,\dots,g_m\in K[\x]$,
$g:=g_1\cdots g_m$, sei $L|K$ eine Körpererweiterung und $L$ ein unendlicher Körper, der ein Unterkörper von $C$ ist
(zum Beispiel $C$ der algebraische Abschluss von $L$). Betrachte die Abbildung
\begin{align*}
\ph\colon L^n\setminus V(g)&\to L^m\\
x&\mapsto\left(\frac{f_1(x)}{g_1(x)},\dots,\frac{f_m(x)}{g_m(x)}\right)
\end{align*}
und das Eliminationsideal $J:=I\cap K[Y_1,\dots,Y_m]$ des Ideals \[I:=(g_1Y_1-f_1,\dots,g_mY_m-f_m,gT-1)\subseteq K[T,\x,\y].\]
Dann ist $V(J)\cap L^m$ der $K$-Zariskiabschluss des Bildes von $\ph$ in $L^m$ (die $K$-Zariskitopologie auf $L^m$ wurde in 1.4.5
definiert).
\end{sat}

\begin{proof}
Betrachte die Projektion
\[\pi\colon C^{1+n+m}\to  C^m,\ (t,x,y)\mapsto y\qquad(t\in C,x\in C^n,y\in C^m).\]
Dann gilt offensichtlich $\pi(V(I)\cap L^{1+n+m})=\ph(L^n\setminus V(g))$. Satz \ref{geoelim} besagt $V(J)=\overline{\pi(V(I))}$. Falls $L=C$, so
sind wir also bereits fertig. Den allgemeinen Fall führen wir mittels
\begin{align*}
\tilde\ph\colon C^n\setminus V(g)&\to C^m\\
x&\mapsto\left(\frac{f_1(x)}{g_1(x)},\dots,\frac{f_m(x)}{g_m(x)}\right)
\end{align*}
darauf zurück, indem wir zeigen, dass $\tilde\ph(C^n\setminus V(g))$ im $K$-Zariskiabschluss von $\ph(L^n\setminus V(g))$
\underline{in $\A^n=C^n$} enthalten ist. Dann stimmen nämlich die $K$-Zariskiabschlüsse von $\tilde\ph(C^n\setminus V(g))$ und
$\ph(L^n\setminus V(g))$ \underline{in $\A^n$} überein, und deren Schnitt mit $L^m$ ist einerseits nach dem schon bewiesenen Fall $L=C$
gleich $V(J)\cap L^m$ und andererseits gleich dem $K$-Zariskiabschluss von $\ph(L^n\setminus V(g))$ \underline{in $L^m$}. Sei also $h\in K[\x]$ mit
$h\in I(\ph(L^n\setminus V(g)))$. Zu zeigen ist $h\in I(\tilde\ph(C^n\setminus V(g)))$. Ist $g=0$, so $V(g)=C^n$ und es ist nichts zu zeigen.
Also \OE\ $g\ne0$. Die rationale Funktion $r:=h\left(\frac{f_1}{g_1},\dots,\frac{f_m}{g_m}\right)\in K(\x)$ verschwindet auf $L^n\setminus V(g)$.
Wähle $k\in\N$ mit $g^kr\in K[\x]$. Dann verschwindet auch $g^kr$ auf $L^n\setminus V(g)$ und $g^{k+1}r$ sogar auf $L^n$. Wegen
$\#L=\infty$ folgt mit 1.2.10 $g^{k+1}r=0$. Somit $r=0$ und daher $h\in I(\tilde\ph(C^n\setminus V(g)))$.
\end{proof}

\begin{sat}[Berechnung des Schnitts von Idealen und von Kongruenzklassen]
Seien $m\in\N$ und $I_1,\dots,I_m$ Ideale von $K[\x]$. Für das Eliminationsideal $J\cap K[\x]$ des Ideals
\[J:=(\{T_1+\ldots+T_m-1\}\cup\{T_ig\mid i\in\{1,\dots,m\},g\in I_i\})\subseteq K[\ushort T,\x]\]
gilt dann \[J\cap K[\x]=I_1\cap\ldots\cap I_m.\] Seien weiter $f_1,\dots,f_m\in K[\x]$ gegeben und
\[L:=(f_1+I_1)\cap\ldots\cap(f_m+I_m)=\{f\in K[\x]\mid f\equiv_{I_1}f_1,\dots,f\equiv_{I_m}f_m\}.\] Dann gilt \[L=f+(I_1\cap\ldots\cap I_m)
=f+(J\cap K[\x])\] für alle $f\in L$. Sei nun ferner $G$ eine Gröbnerbasis von $J$ bezüglich der lexikographischen Ordnung $\le_\lex$ auf
$[\ushort T,\x]$ und $h\in K[\ushort T,\x]$ reduziert modulo $G$ mit $T_1f_1+\ldots+T_mf_m\rd*Gh$. Dann
\[L\ne\emptyset\iff h\in K[\x]\iff h\in L.\]
\end{sat}

\begin{proof} Wir zeigen zunächst $J\cap K[\x]=I_1\cap\ldots\cap I_m$.

\smallskip\noindent
"`$\supseteq$"' Sei $g\in I_1\cap\ldots\cap I_m$. Dann $g=1\cdot g\equiv_J(T_1+\ldots+T_m)g=T_1g+\ldots+T_mg\equiv_J0$, also $g\in J$.

\smallskip\noindent
"`$\subseteq$"' Sei $g\in J\cap K[\x]$ und $i\in\{1,\dots,m\}$. Zu zeigen: $g\in I_i$. Es gibt $h\in K[\x]$ und $h_1\in I_1,\dots,h_m\in I_m$ mit
$g=h(T_1+\ldots+T_m-1)+\sum_{j=1}^mT_jh_j$. Wende den $K$-Algebrenhomomorphismus $\ph\colon K[\ushort T,\x]\to K[\x]$ mit
$\ph(X_j)=X_j$ für $j\in\{1,\dots,n\}$ und $\ph(T_j)=\de_{ij}$ für $j\in\{1,\dots,m\}$ an. Dann
\[g=\ph(g)=\ph(h)\underbrace{\ph(T_1+\ldots+T_m-1)}_{=0}+h_i=h_i\in I_i.\] Seien nun weiter $f_1,\dots,f_m\in K[\x]$ und
$L:=(f_1+I_1)\cap\ldots\cap(f_m+I_m)$. Man sieht sofort, dass $L=f+(I_1\cap\ldots\cap I_m)$ ist für alle $f\in L$. Sei schließlich
$G$ eine Gröbnerbasis von $J$ bezüglich der lexikographischen Ordnung $\le_\lex$ auf $[\ushort T,\x]$ und $h\in K[\ushort T,\x]$ reduziert
modulo $G$ mit $T_1f_1+\ldots+T_mf_m\rd*Gh$. Es reicht zu zeigen:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $L\ne\emptyset\implies h\in K[\x]$
\item $h\in K[\x]\implies h\in L$
\end{enumerate}
Zu (a). Gelte $L\ne\emptyset$. Wähle $p\in L$. Dann \[p-(T_1f_1+\ldots+T_mf_m)=\sum_{i=1}^mT_i(p-f_i)+(1-\sum_{i=1}^mT_i)p\in J.\]
Da somit $p\equiv_JT_1f_1+\ldots+T_mf_m$ und $\rd{}G$ eindeutig reduziert, folgt $p\rd*Gh$. Nach Wahl der Monomordnung $\le_\lex$
gilt mit $p\in K[\x]$ dann aber auch $h\in K[\x]$.

\smallskip\noindent
Zu (b). Gelte $h\in K[\x]$. Zu zeigen: $h\in L$. Sei $i\in\{1,\dots,m\}$. Zu zeigen: $h\equiv_{I_i}f_i$. Aus
$h-(T_1f_1+\ldots+T_mf_m)\in J$ folgt wie oben durch Einsetzen von $1$ für $T_i$ und $0$ für $T_j$ für $j\ne i$, dass
$h-f_i\in I_i$.
\end{proof}

\end{document}