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% erstmals unter teilweiser Berücksichtigung des LaTeX-Sündenregisters l2tabu.pdf: ftp://ftp.dante.de/tex-archive/info/l2tabu/german/l2tabu.pdf
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\newtheorem{notpro}[sat]{Notation und Proposition}
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\newtheorem{bsp}[sat]{Beispiel}
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\begin{document}
\title{§7.2 Matrizenkalkül}
\date{}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{df}(auch gültig, wenn $K$ nur ein kommutativer Ring ist!)\\

\bigskip
Seien $m,n,r\in\N_0$, $A=(a_{ij})_{1\le i\le m,1\le j\le n}\in K^{m\times\a n},B=(b_{jk})_{1\le j\le n,1\le k\le r}\in K^{\a n\times r}$.\pause

\bigskip
Dann ist das \s{Matrizenprodukt}
\s{$AB=A\cdot B\in K^{m\times r}$} definiert durch\pause
\[\a{AB=\left(\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}\right)_{1\le i\le m,1\le k\le r}}.\]
\end{df}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bem}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ist \s{$n=0$}, so ist \s{$AB=0\in K^{m\times r}$} die \s{Nullmatrix},\pause\ aber \a{$m,r\in\N_0$} können \s{beliebig} gewählt werden.\pause\ Nur in diesem Ausnahmefall müsste man in die Notation
\s{$A\cdot B$} eigentlich \a{$m$} und \a{$r$} aufnehmen,\pause\ aber aus dem Zusammenhang ist ohnehin meist klar, was \a{$m$} und \a{$r$} sein sollen.\pause
\item Damit das Matrixprodukt zweier Matrizen definiert ist, muss die erste Matrix genau so viele Spalten haben, wie die zweite Zeilen hat.\pause\
\b{Mit anderen Worten: Die Zeilen der ersten
Matrix müssen genauso lang sein, wie die Spalten der zweiten Matrix.}\pause\ Der Eintrag in der $i$-ten Zeile und $k$-ten Spalte von $AB$ ist dann das innere Produkt der $i$-ten Zeile
von $A$ mit der $k$-ten Spalte von $B$ (\a{"`Zeile mal Spalte"'}).\pause\ Dabei nennt man $\sum_{i=1}^nx_iy_i$ für $x,y\in K^n$ das \s{innere Produkt} von $x$ und $y$.
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bem}
\begin{enumerate}[(c)]
\item
Sind $x^{(1)},\dots,x^{(r)}$ die Spalten von $B$, so sind $Ax^{(1)},\dots,Ax^{(r)}$ die Spalten von $AB$:
\[A(x^{(1)}\dots x^{(r)})=(Ax^{(1)}\dots Ax^{(r)}).\]
Matrizenmultiplikation ist also \a{"`simultanes Multiplizieren mit Spaltenvektoren"'}.\pause
\item[(d)]
Sind $A\in K^{m\times n}$ und $x_1,\dots,x_n\in K$, so ist
\[A\underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}}_{\in K^n}=A\underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}}_{\in K^{n\times1}}.\]
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bsp}\mbox{}\\
\begin{enumerate}[(a)]
\item<1-3>
$
\begin{array}[t]{cccc}
\begin{pmatrix}1&0\\1&0\\2&1\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&1&0&0\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&1&0&1\\3&3&0&2\end{pmatrix}\\
\\
3\times\underline2&\underline2\times4&&3\times4
\end{array}
$
\item<2-3>
$
\begin{array}[t]{cc}
\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\1&0\end{pmatrix}\\
\\
2\times\underline2&\underline3\times2
\end{array}
$ ist nicht definiert.
\item<3>
$
\begin{array}[t]{cccc}
\begin{pmatrix}1&3&0&1\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}0&1\\1&1\\-1&0\\0&2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3&6\end{pmatrix}\\
\\
1\times\underline4&\underline4\times2&&1\times2
\end{array}
$
\end{enumerate}
\end{bsp}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{lem}\label{abab}
Seien $m,n,r\in\N_0$, $A\in K^{m\times n}$ und $B\in K^{n\times r}$. Dann gilt \s{$f_{AB}=f_A\circ f_B$}.\pause
\end{lem}

\begin{proof}
Wegen $AB\in K^{m\times r}$ haben wir
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[node distance=5em, auto]
  \node (1) {$K^r$};
  \node (2) [right of=1] {$K^n$};
  \node (3) [right of=2] {$K^m$};
  \draw[->] (1) to node {$f_B$} (2);
  \draw[->] (2) to node {$f_A$} (3);
  \draw[->,bend right] (1) to node [below] {$f_{AB}$} (3);
\end{tikzpicture},
\end{center}\pause
so dass Definitions- und Zielmengen von $f_{AB}$ und $f_A\circ f_B$ übereinstimmen.\pause\ Da beide Abbildungen linear sind, reicht es nach 6.3.4, die Gleichheit auf den Standardvektoren
$e_k\in K^r$ zu zeigen:\pause\\
\s{Sei $k\in\{1,\dots,r\}$. Zu zeigen ist $(AB)e_k=A(Be_k)$.} Da $\a{Be_k}$ die $k$-te Spalte von $B$ ist, ist $A(\a{Be_k})$
die $k$-te Spalte von $AB$, welche natürlich $(AB)e_k$ ist. 
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Matrizenprodukt entspricht Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen}
\begin{sat}
Seien $U,V,W$ $K$-VRe der Dimensionen $r,n,m$ mit geordneten Basen $\u,\v,\w$. Seien
$U\overset g\longrightarrow V\overset f\longrightarrow W$ linear. Dann gilt \s{$M(f\circ g,\a\u,\a\w)=M(f,\v,\a\w)M(g,\a\u,\v)$}.\pause
\end{sat}

\begin{proof}
Setzt man \s{$A:=M(f,\underline v,\underline w)\in K^{m\times n}$}, \s{$B:=M(g,\u,\v)\in K^{n\times r}$}, so ist
\s{$AB=M(f\circ g,\u,\w)$} zu zeigen, das heißt
\s{$f\circ g=\ve_{\w}\circ f_{\a{AB}}\circ\co_\u$}.\pause\ Nun gilt aber:
\begin{eqnarray*}
f\circ g&=&(\ve_\w\circ f_A\circ\co_\v)\circ(\ve_\v\circ f_B\circ\co_\u)\pause\\
&=&\ve_\w\circ f_A\circ(\underbrace{\co_\v\circ\ve_\v}_{=\id_{K^n}})\circ f_B\circ\co_\u\pause\\
&=&\ve_\w\circ(f_A\circ f_B)\circ\co_\u=\pause\ve_\w\circ f_{AB}\circ\co_\u
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Matrizenmultiplikation ist assoziativ}
\begin{kor}
Seien $m,n,r,s\in\N_0$, $A\in K^{m\times n}$, $B\in K^{n\times r}$ und $C\in K^{r\times s}$.
Dann gilt \s{$(AB)C=A(BC)$}.\pause
\end{kor}

\begin{proof}
Bezeichne $\e^{(\ell)}$ die Standardbasis von $K^\ell$ für $\ell\in\N_0$. Dann gilt
\begin{eqnarray*}
(AB)C&=&\s{(M(f_A,\e^{(n)},\e^{(m)})M(f_B,\e^{(r)},\e^{(n)}))}M(f_C,\e^{(s)},\e^{(r)})\pause\\
&=&\s{M(f_A\circ f_B,\e^{(r)},\e^{(m)})}M(f_C,\e^{(s)},\e^{(r)})\pause\\
&=&M(\a{(f_A\circ f_B)\circ f_C},\e^{(s)},\e^{(m)})\overset{1.2.5(a)}=M(\a{f_A\circ(f_B\circ f_C)},\e^{(s)},\e^{(m)})\pause\\
&=&M(f_A,\e^{(n)},\e^{(m)})\s{M(f_B\circ f_C,\e^{(s)},\e^{(n)})}\pause\\
&=&M(f_A,\e^{(n)},\e^{(m)})(\s{M(f_B,\e^{(r)},\e^{(n)})M(f_C,\e^{(s)},\e^{(r)})})=A(BC)
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bem}
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Man kann für das Korollar auch den folgenden direkten Beweis geben, welcher zeigt, dass es auch richtig bleibt, wenn $K$ nur ein kommutativer Ring ist:
Für $i\in\{1,\dots,m\}$ und $\ell\in\{1,\dots,s\}$ gilt
\begin{eqnarray*}
((AB)C)_{i\ell}&=&\sum_{k=1}^r(AB)_{ik}C_{k\ell}\pause\\
&=&\sum_{k=1}^r\left(\sum_{j=1}^nA_{ij}B_{jk}\right)C_{k\ell}\pause\\
&=&\sum_{k=1}^r\sum_{j=1}^nA_{ij}B_{jk}C_{k\ell}\pause\\
&=&\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^rA_{ij}B_{jk}C_{k\ell}\pause\\
&=&\sum_{j=1}^nA_{ij}\sum_{k=1}^rB_{jk}C_{k\ell}=\sum_{j=1}^nA_{ij}(BC)_{j\ell}=(A(BC))_{i\ell}.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bem}
\begin{enumerate}[(b)]
\item Aus 7.1.7 und 7.1.8 folgt, dass für alle $m,n,r\in\N_0$ gilt
\begin{align*}
&\forall A,B\in K^{m\times n}:\forall C\in K^{n\times r}:(A+B)C=AC+BC,\\
&\forall A\in K^{m\times n}:\forall B,C\in K^{n\times r}:A(B+C)=AB+AC&\text{und}\\
&\forall\la\in K:\forall A\in K^{m\times n}:\forall B\in K^{n\times r}:(\la A)B=\la(AB)=A(\la B).
\end{align*}\pause
Dies kann man aber auch direkt nachrechnen\pause\ und zwar sogar dann, wenn $K$ nur ein kommutativer Ring statt ein Körper ist,\pause\ wobei man dann $\la A$ für $\la\in K$ und
$A\in K^{m\times n}$ analog zu 7.1.5 "`eintragweise"' definiert\pause\ (und $A+B$ für $A,B\in K^{m\times n}$ schon durch 2.1.11 genauso wie in 7.1.5 "`eintragweise"' definiert ist).\pause
\item[(c)] Beim Multiplizieren von mehreren Matrizen kann man auf Klammern verzichten [$\to$2.1.7].
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bsp}
Seien $\ph,\ps\in\R$. Dann $R_{\ph+\ps}=R_\ph\circ R_\ps$ und daher
$M(R_{\ph+\ps},\e)=M(R_\ph,\e)M(R_\ps,\e)$,\pause\ was mit 7.1.4(a) heißt
\[
\begin{pmatrix}\a<4->{\cos(\ph+\ps)}&-\sin(\ph+\ps)\\\s<5->{\sin(\ph+\ps)}&\cos(\ph+\ps)\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\cos(\ph)&-\sin(\ph)\\\sin(\ph)&\cos(\ph)\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\cos(\ps)&-\sin(\ps)\\\sin(\ps)&\cos(\ps)\end{pmatrix}\]\pause
\[=\begin{pmatrix}
\a<4->{(\cos\ph)(\cos\ps)-(\sin\ph)(\sin\ps)}&-(\cos\ph)(\sin\ps)-(\sin\ph)(\cos\ps)\\
\s<5->{(\sin\ph)(\cos\ps)+(\cos\ph)(\sin\ps)}&-(\sin\ph)(\sin\ps)+(\cos\ph)(\cos\ps)
\end{pmatrix}.\]
\onslide<6>{
Es folgen die \s{Additionstheoreme}\pause
\begin{align*}
\a{\cos(\ph+\ps)}&\a{=(\cos\ph)(\cos\ps)-(\sin\ph)(\sin\ps)}\text{ und}\\
\s{\sin(\ph+\ps)}&\s{=(\sin\ph)(\cos\ps)+(\cos\ph)(\sin\ps)}.
\end{align*}}
\end{bsp}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{defprop}(auch falls $K$ nur ein kommutativer Ring statt einem Körper)\\
Für $n\in\N_0$ heißt
\[I_n:=
    \begin{pmatrix}
      1 & \multicolumn{2}{c}{\text{\kern 1em\smash{\raisebox{-1.5ex}{\Huge 0}}}} \\
      & \ddots &  \\
      \multicolumn{2}{c}{\text{\kern-1.5em\smash{\raisebox{0ex}{\Huge 0}}}} & 1
    \end{pmatrix}\in K^{n\times n}
    \]
die \s{Einheitsmatrix} der Größe $n$.\pause\ Falls $n$ aus dem Zusammenhang klar ist, schreibt man oft $I$ statt $I_n$.\pause\
Man überprüft sofort $\forall A\in K^{m\times n}:AI_n=A$ und $\forall B\in K^{n\times r}:\s{I_nB=B}$.\pause\\
Eine Matrix $A\in K^{n\times n}$ heißt \s{invertierbar} (falls $K$ ein Körper auch \s{regulär}), wenn es ein $B\in K^{n\times n}$ gibt mit
\[\s{AB=I_n=BA}.\]\pause
In diesem Fall ist $B$ eindeutig bestimmt \onslide<6>{(hat $B'$ dieselben Eigenschaften, so $B'=B'I_n=B'AB=I_nB=B$)} und heißt die zu $A$ \s{inverse} Matrix, in Zeichen
$A^{-1}$.
\end{defprop}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{pro}\label{iii}
Seien $V$ ein VR mit Basis $\v=(v_1,\dots,v_n)$ und $f\colon V\to V$ linear. Dann \s{$M(f,\v)=I_n\iff f=\id_V$}.\pause
\end{pro}

\begin{proof}
\begin{eqnarray*}
M(f,\v)=I_n&\overset{7.1.1}\iff&f=\ve_\v\circ\underbrace{f_{\a{I_n}}}_{=\id_{K^n}}\circ\co_\v\\\pause
&\iff&f=\underbrace{\ve_\v\circ\co_\v}_{\id_V}
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{pro}\label{invbij}
Seien $V$ und $W$ $K$-VRe mit Basen $\v=(v_1,\dots,v_n)$ und $\w=(w_1,\dots,w_n)$. Sei $f\colon V\to W$ linear. Dann ist $M(f,\v,\w)$ invertierbar genau dann,
wenn $f$ bijektiv ist,\pause\ und in diesem Fall gilt \[\s{M(f,\v,\w)^{-1}=M(f^{-1},\w,\v)}.\]
\end{pro}

\begin{proof}
Ist $f$ bijektiv, so gilt $f\circ f^{-1}=\id_W$ und $f^{-1}\circ f=\id_V$, also
\begin{align*}
I_n&=M(f\circ f^{-1},\w,\w)=M(f,\v,\w)M(f^{-1},\w,\v)\text{ und}\\
I_n&=M(f^{-1}\circ f,\v,\v)=M(f^{-1},\w,\v)M(f,\v,\w),
\end{align*}\pause
das heißt $M(f,\v,\w)$ ist invertierbar mit $\s{M(f,\v,\w)^{-1}=M(f^{-1},\w,\v)}$.\pause\
Sei nun \a{umgekehrt} $A:=M(f,\v,\w)$ invertierbar, etwa $B\in K^{n\times n}$ mit $AB=I_n=BA$.\pause\
Dann gilt für $g:=\ve_\v\circ f_B\circ\co_\w\colon W\to V$:\\
\s{$
g\circ f=\ve_\v\circ f_B\circ f_A\circ\co_\v=\id_V,
f\circ g=\ve_\w\circ f_A\circ f_B\circ\co_\w=\id_W,
$}\pause\
da \s{$f_B\circ f_A=f_{BA}=f_{I_n}=\id_{K^n}$} und \s{$f_A\circ f_B=f_{AB}=f_{I_n}=\id_{K^n}$}.\\
Aus 1.2.6 folgt, dass dann $f$ bijektiv ist.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{pro}\label{inbisu}
Seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-VRe derselben Dimension und $f\colon V\to W$ linear. Dann gilt
\[\text{$f$ injektiv}\iff\text{$f$ bijektiv}\iff\text{$f$ surjektiv.}\]\pause
\end{pro}

\begin{proof}
Wähle eine Basis $\v=(v_1,\dots,v_n)$ von $V$.\pause\ Nach 6.3.8 gilt:
\begin{align*}
\text{$f$ injektiv}&\iff\text{$f(v_1),\dots,f(v_n)$ linear unabhängig in $W$,}\\
\text{$f$ bijektiv}&\iff\text{$f(v_1),\dots,f(v_n)$ bilden Basis von $W$,}\\
\text{$f$ surjektiv}&\iff\text{$f(v_1),\dots,f(v_n)$ spannen $W$ auf.}
\end{align*}\pause
Wegen $\dim W=n$ sind nach 6.2.26 die rechts stehenden Bedingungen aber äquivalent.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sat}\label{abba}
Seien $A,B\in K^{n\times n}$. Dann $AB=I_n\iff BA=I_n$.\pause
\end{sat}

\begin{proof}
Wegen Symmetrie reicht es zu "`$\implies$"' zu zeigen. Gelte hierzu $AB=I_n$.\pause\ Dann \s{$f_A\circ f_B=f_{AB}=f_{I_n}=\id_{K^n}$}, woraus folgt,
dass $f_B$ injektiv ist.\pause\ Es folgt, dass $f_B$ bijektiv ist, woraus man die Invertierbarkeit von $B$ erhält.\pause\ Damit gilt
$$BA=BA(BB^{-1})=B(AB)B^{-1}=BB^{-1}=I_n.$$
\end{proof}\pause

\begin{kor}
Sei $A\in K^{n\times n}$. Dann ist $A$ invertierbar genau dann, wenn es \[x^{(1)},\dots,x^{(n)}\in K^n\] gibt mit $Ax^{(j)}=e_j$ für alle $j\in\{1,\dots,n\}$.\pause\
In diesem Fall
sind $x^{(1)},\dots,x^{(n)}$ eindeutig bestimmt und $x^{(j)}$ ist die $j$-te Spalte von $A^{-1}$.
\end{kor}
\end{frame}
\end{document}