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\newtheorem{notsprpro}[sat]{Notation, Sprechweise und Proposition}
\newtheorem{lem}[sat]{Lemma}
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\newtheorem{defprop}[sat]{Definition und Proposition}
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\DeclareMathOperator\constr{\mathrel \wedge \joinrel \hspace{-1.47ex}\smile}

\begin{document}
\noindent
Universität Konstanz\hfill Einführung in die Algebra\\
Fachbereich Mathematik und Statistik\hfill Wintersemester 2017/2018\\
Markus Schweighofer
\medskip
\hrule
\begin{center}
\section*{§5.4 Kreisteilungskörper}
\setcounter{chapter}{5}
\setcounter{section}{4}
\end{center}
\hrule

\bigskip
\begin{pro}\label{unitszn}
\begin{enumerate}[\normalfont(a)]
\item Sind $a,n\in\Z$, so \[\cc a{(n)}\in(\Z/(n))^\times\iff(a,n)=(1).\]
\item Ist $n\in\N$, so
\[(\Z/(n))^\times=\{\cc a{(n)}\mid a\in\{0,\ldots,n-1\},(a,n)=(1)\}.\]
\end{enumerate}
\end{pro}

\begin{proof}
(a) Seien $a,n\in\Z$. Ist $\cc a{(n)}\in(\Z/(n))^\times$, so gibt es $s\in\Z$ mit $\cc{sa}{(n)}=1$ und daher auch $t\in\Z$ mit $sa+tn=1$.
Ist $(a,n)=(1)$, so gibt es $s,t\in\Z$ mit $sa+tn=1$ und daher $\cc s{(n)}\cc a{(n)}=1$.
\end{proof}

\begin{df} Die Abbildung \[\ph\colon\N\to\N,\ n\mapsto\#(\Z/(n))^\times\] heißt die \emph{Eulersche $\ph$-Funktion}
[Leonard Euler *1846 $\dagger$1912].
\end{df}

\begin{pro}
\begin{enumerate}[\normalfont(a)]
\item $\forall m,n\in\N:((m,n)=(1)\implies\ph(mn)=\ph(m)\ph(n))$
\item $\forall p\in\P:\forall k\in\N:\ph(p^k)=(p-1)p^{k-1}$
\item $\forall n\in\N:\ph(n)=n\prod_{\substack{p\in\P\\p|n}}\left(1-\frac1p\right)$
\end{enumerate}
\end{pro}

\begin{proof}
\textbf{(a)} Sind $m,n\in\N$ mit $(m,n)=(1)$, so gilt nach dem Chinesischen Restsatz 2.8.5
\[\Z/(mn)\cong\Z/(m)\times\Z/(n)\]
und daher [$\to$2.8.7]
\[(\Z/(mn))^\times\cong(\Z/(m))^\times\times(\Z/(n))^\times.\]

\smallskip\noindent
\textbf{(b)} Sind $p\in\P$ und $k\in\N$, so
\begin{multline*}
\ph(p^k)\overset{\ref{unitszn}(b)}=\#\{a\in\{0,\ldots,p^k-1\}\mid p\nmid a\}=\#(\{0,\ldots,p^k-1\}\setminus\{0,p,\ldots,p^k-p\})\\
=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}.
\end{multline*}

\smallskip\noindent
\textbf{(c)} Sei $n\in\N$. Schreibe $n=p_1^{\al_1}\dotsm p_m^{\al_m}$ mit $m\in\N_0$,
$p_1,\ldots,p_m\in\P$ paarweise verschieden und $\al_1,\ldots,\al_m\in\N$. Dann
\begin{multline*}
\ph(n)\overset{(a)}=\ph(p_1^{\al_1})\dotsm\ph(p_m^{\al_m})\overset{(b)}=p_1^{\al_1-1}\dotsm p_m^{\al_m-1}(p_1-1)\dotsm(p_m-1)=\\
=\underbrace{p_1^{\al_1}\dotsm p_m^{\al_m}}_{=n}\left(1-\frac1{p_1}\right)\dotsm\left(1-\frac1{p_m}\right).
\end{multline*}
\end{proof}

\begin{bem}\label{zna}
Sei $G$ eine multiplikativ geschriebene geschriebene endliche zyklische Gruppe der Ordnung $n$.
Sei $a\in G$ mit $G=\langle a\rangle$. Dann ist
\[\Z/\langle n\rangle\to G,\ \overline k\mapsto a^k\qquad(k\in\Z)\]
wohldefiniert und ein Gruppenisomorphismus. Für alle $k\in\Z$ gilt
\[(k,n)=(1)\iff\overline k\in(\Z/(n))^\times\iff G=\langle a^k\rangle.\]
\end{bem}

\begin{df}
Sei $K$ ein Körper und $\ze\in K$. Man nennt $\ze$
\begin{itemize}
\item eine \emph{Einheitswurzel} in $K$, wenn $\exists n\in\N:\ze^n=1$,
\item eine \emph{$n$-te Einheitswurzel}, wenn $\ze^n=1$ ($n\in\N$) und
\item eine \emph{primitive $n$-te Einheitswurzel} in $K$, wenn $\ze$ in $K^\times$ die Ordnung $n$ hat ($n\in\N$).
\end{itemize}
\end{df}

\begin{bem}\label{bildengruppe}
Sei $K$ ein Körper.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Die Einheitswurzeln in $K$ bilden eine Untergruppe von $K^\times$.
\item Ist $n\in\N$, so bilden die $n$-ten Einheitswurzeln in $K$ eine zyklische Untergruppe von $K^\times$, deren Ordnung $n$ teilt
($X^n-1$ hat nur endlich viele Nullstellen, aber endliche Untergruppen von $K^\times$ sind zyklisch [$\to$ 4.4.19] und nach Lagrange teilt
die Ordnung eines Erzeugers $n$).
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{bsp}
Sei $n\in\N$. Die $n$-ten Einheitswurzeln in $\C$ sind \[e^{\frac{2k\pi\i}n}\qquad(k\in\{0,\ldots,n-1\}).\] Ist $k\in\Z$, so ist $e^{\frac{2k\pi\i}n}$
eine primitive $n$-te Einheitswurzel in $\C$ genau dann, wenn \[(k,n)=(1).\]
\end{bsp}

\begin{pro}
Sei $K$ ein Körper, $p:=\chr K\in\{0\}\cup\P$ und $n\in\N$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
\begin{enumerate}[\normalfont(a)]
\item $K$ besitzt eine primitive $n$-te Einheitswurzel.
\item $K$ besitzt $n$ $n$-te Einheitswurzeln.
\item $p\nmid n$ und $X^n-1$ zerfällt in $K[X]$.
\end{enumerate}
\end{pro}

\begin{proof}
\underline{(a)$\implies$(b)}\qquad trivial

\medskip\underline{(b)$\implies$(a)} klar mit \ref{bildengruppe}(b).

\medskip
Setzt man $f:=X^n-1$, so $f'=nX^{n-1}$ und daher
\[f\text{ separabel}\iff f'\ne0\iff n\ne0\text{ in }K\iff p\nmid n.\]
Hieraus folgt (b)$\iff$(c).
\end{proof}

\begin{pro}\label{glemma}
Sei $R$ ein faktorieller Ring und $K$ sein Quotientenkörper. Dann liegt jeder normierte Teiler in $K[X]$ eines normierten
Polynoms aus $R[X]$ schon in $R[X]$.
\end{pro}

\begin{proof}
Sei $f\in R[X$ normiert und seien $g,h\in K[X]$ mit $f=gh$ und $g$ normiert. Zu zeigen ist $g\in R[X]$. 
Betrachte für jedes $p\in\P_R$ [$\to$ 2.4.1] die $p$-Bewertung $v_p$ auf $K$ [$\to$ 2.5.3] und ihre Gauß-Fortsetzung
$w_p$ auf $K(X)$ [$\to$ 2.5.7]. Es ist $h$ natürlich auch normiert und damit $w_p(h)\le0$ für alle $p\in\P_R$. Es folgt
\[0=w_p(f)=w_p(gh)\overset{2.5.1}=w_p(g)+w_p(h)\le w_p(g)\]
für alle $p\in\P_R$ und damit $g\in R[X]$.
\end{proof}

\begin{defprop}
Sei $n\in\N$. Dann heißt
\[\Ph_n:=\prod_{\substack{\xi\text{ primitive $n$-te}\\\text{Einheitswurzel in $\C$}}}(X-\ze)=
\prod_{\substack{k=0\\(k,n)=(1)}}^{n-1}\left(X-e^{\frac{2k\pi\i}n}\right)\in\Z[X]\]
das \emph{$n$-te Kreisteilungspolynom} und sein Zerfällungskörper [$\to$ 4.3.4] über $\Q$ der $n$-te
\emph{Kreisteilungskörper}.
\end{defprop}

\begin{proof}
Zu zeigen ist $\Ph_n\in\Z[X]$. Da $\Ph_n$ in $\Q[X]$ offensichtlich ein normierter Teiler von $X^n-1\in\Z[X]$ ist, reicht es
nach \ref{glemma} $\Ph_n\in\Q[X]$ zu zeigen.
Da $\overline\Q|\Q$ galoissch ist, reicht es nach 5.1.4(c) zu zeigen, dass für alle
$\ph\in\Aut(\overline\Q|\Q)$ für den Ringhomomorphismus [$\to$ 2.2.7]
\begin{gather*}
\widetilde\ph\colon\overline\Q[X]\to\overline\Q[X],\ \begin{split}a&\mapsto\ph(a)\quad(a\in\overline\Q)\\X&\mapsto X\end{split}
\end{gather*}
gilt $\widetilde\ph(\Ph_n)=\Ph_n$. Dies folgt aber daraus, dass jedes solche $\ph$ die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln
in $\overline\Q$ permutiert.
\end{proof}

\begin{bem}
Sei $n\in\N$ und $\ze$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel in $\C$. Dann ist $\Q(\ze)$ der Zerfällungskörper von $X^n-1$ und damit
auch der $n$-te Kreisteilungskörper.
\end{bem}

\begin{sat}
Sei $n\in\N$.
\begin{enumerate}[\normalfont(a)]
\item $\Ph_n$ ist irreduzibel in $\Q[X]$.
\item Der $n$-te Kreisteilungskörper ist galoissch über $\Q$ mit Galoisgruppe $G\cong(\Z/(n))^\times$. Für jede
primitive $n$-te Einheitswurzel $\ze$ in $\C$ ist
\[G\to(\Z/(n))^\times,\ \ph\mapsto\overline k\text{ falls $k\in\Z$ mit $\ph(\ze)=\ze^k$}\]
ein Gruppenisomorphismus.
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof}
Sei $\ze$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel in $\C$. Dann ist natürlich $f:=\irr_\Q(\ze)$ ein Teiler von $\Ph_n$ in $\Q[X]$. Wir zeigen
$f=\Ph_n$, womit auch (a) gezeigt ist. Mit \ref{zna} reicht es hierfür zu zeigen, dass für jede primitive
$n$-te Einheitswurzel $z$ in $\C$ und alle $p\in\P$ mit $p\nmid n$ gilt
\[f(z)=0\implies f(z^p)=0.\]
Sei hierzu $z\in\C$ und $p\in\P$ mit $f(z)=0$ und $f(z^p)\ne0$. Zu zeigen: $p\mid n$. Schreibe $X^n-1=fg$ mit $g\in\Q[X]$.
Nach \ref{glemma} gilt $f,g\in\Z[X]$. Wegen $f(z^p)\ne0$ und $(fg)(z^p)=0$ folgt $g(z^p)=0$, das heißt
$z$ ist Nullstelle von $g(X^p)$. Wegen $f=\irr_\Q(z)$ gibt es
$h\in\Q[X]$ mit $g(X^p)=fh$. Wieder mit \ref{glemma} erhält man $h\in\Z[X]$.
Wir reduzieren nun die Koeffizienten modulo $p$,
das heißt wir wenden den Ringhomomorphismus $\ps\colon\Z[X]\to\F_p[X],\ X\mapsto X$ an und benutzen den
Frobeniushomomorphismus $\Ph_{\F_p[X]}\colon\F_p[X]\to\F_p[X]$ [$\to$ 4.4.3], um $X^n-1=\ps(f)\ps(g)$ und
$\ps(g)^p=\ps(g(X^p))=\ps(fh)=\ps(f)\ps(h)$ zu erhalten. Wegen $\ps(f)\mid(\ps(g))^p$ ist $X^n-1$ nicht
separabel über $\F_p$. Wegen $(X^n-1)'=nX^{n-1}\in\F_p[X]$ gilt dann aber $n=0$ in $\F_p[X]$, das heißt $p\mid n$ wie
gewünscht.

\textbf{(b)} Als Zerfällungskörper von $X^n-1$ über $\Q$ ist der $n$-te Kreisteilungskörper $\Q(\ze)$
galoissch über $\Q$. Wendet man \ref{zna}
auf die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln in $\C$ an, so sieht man, dass die Abbildung wohldefiniert ist. Sie ist auch injektiv
und wegen
\[\#G\overset{\text{Galoistheorie}}=[\Q(\ze):\Q]\overset{4.1.10}=\deg\irr_\Q(\ze)
\overset{\text{(a)}}=\deg(\Ph_n)=\ph(n)\]
daher auch surjektiv.
\end{proof}

\begin{bem}
Die für alle $n\in\N$ gültige Formel
\[X^n-1=\prod_{\substack{\ze\in\C\\\ze^n=1}}(X-\ze)=\prod_{\substack{d\in\N\\d\mid n}}\prod_{\substack{\ze\text{ primitive}\\
\text{$d$-te Einheitswurzel}}}(X-\ze)=\prod_{\substack{d\in\N\\d\mid n}}\Ph_d\]
liefert ein rekursives Berechnungsverfahren für $\Ph_n$. Zum Beispiel gilt
\[\Ph_{12}=\frac{X^{12}-1}{\Ph_1\Ph_2\Ph_3\Ph_4\Ph_6}=\frac{X^{12}-1}{(X^6-1)\Ph_4}=\frac{X^6+1}{\Ph_4}\]
und $\Ph_4=\frac{X^4-1}{\Ph_1\Ph_2}=\frac{X^4-1}{X^2-1}=X^2+1$. Also $\Ph_{12}=\frac{X^6+1}{X^2+1}=X^4-X^2+1$.
\end{bem}
\end{document}