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\begin{document}
\title{§5.3 Der Fundamentalsatz der Algebra}
\date{}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Lemma.}
Jedes Polynom $f\in\C[X]$ vom \a{Grad $2$} hat eine Nullstelle in $\C$.\pause

\begin{proof}
\OE\ $f=X^2+bX+x$ mit $b,c\in\C$. \pause Wegen \s{$f=(X+\frac b2)^2+(c-\frac{b^2}4)$} reicht es zu zeigen, dass jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt. \pause Dies folgt zum Beispiel mit der Polarzerlegung einer komplexen Zahl aus der Analysis: Sind $r\in\R_{\ge0}$
und $\ph\in\R$, so \s{$(\sqrt re^{\i\frac\ph2})^2=re^{\i\ph}$}. \pause \a{Alternativ:} Sind $a,b\in\R$ und $r:=\sqrt{a^2+b^2}$, so
\[
\s{\left(\sqrt\frac{r+a}2\pm\i\sqrt\frac{r-a}2\right)^2=\frac{r+a}2\pm2\i\sqrt\frac{r^2-a^2}4-\frac{r-a}2=a\pm2\i\left|\frac b2\right|}.
\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Lemma.}
Jedes Polynom $f\in\R[X]$ von \a{ungeradem Grad} hat eine Nullstelle in $\R$.\pause

\begin{proof}
Sei $f\in\R[X]$ von ungeradem Grad und \OE\ normiert. Dann $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ und $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$,
insbesondere nimmt die stetige Funktion $\R\to\R,\ x\mapsto f(x)$ positive und negative Werte an.
\s{Benutze nun den Zwischenwertsatz aus der Analysis.}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Fundamentalsatz der Algebra} [Jean-Robert Argand *1768 $\dagger$1822]\s.\\
\a{$\C$ ist algebraisch abgeschlossen.}\pause

\begin{proof}
\s{Sei $z\in\overline\C$.} \a{Zu zeigen: $z\in\C$.} \pause
Wähle einen \s{Zwischenkörper $L$ von $\overline\C|\C$ mit $z\in L$} derart, dass \s{$L|\R$} eine
\s{endliche Galoiserweiterung} ist \pause (zum Beispiel den Zerfällungskörper von \s{$(X^2+1)\irr_\R(z)$} über $\R$).\pause\\
\a{Wir zeigen $L=\C$.} \pause
Wähle eine \s{$2$-Sylowgruppe $P$ der Galoisgruppe $G:=\Aut(L|\R)$}. \pause Nach Galois ist
$[L^P:\R]=[G:P]$ ungerade, woraus mit dem zweiten Lemma folgt \s{$L^P=\R$}. \pause \a{Dann ist $G=P$ eine $2$-Gruppe.} \pause
Als Untergruppe von $G$ ist nach Lagrange daher \a{auch die Galoisgruppe $H:=\Aut(L|\C)$} der Galoiserweiterung $L|\C$ \a{eine
$2$-Gruppe}. \pause \s{Wäre $H\ne\{1\}$, so gäbe es ein $I\lhd H$ mit $[H:I]=2$, woraus $[L^I:\C]=[L^I:L^H]\overset{\text{Galois}}=[H:I]=2$ folgte im Widerspruch zum ersten Lemma.} \pause Also folgt $H=\{1\}$ und daher \a{$L=L^H\overset{\text{Galois}}=\C$}.
\end{proof}
\end{frame}

\end{document}