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    % #1 = Startwinkel,   #2 = Anzahl Knoten
    % #3 = Zentrums-Node, #4 = Abstand
    at={([shift={(#3)}] {{(\tikzchaincount-1)*360/(#2)+#1}}:{#4})}
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\newcommand{\case}[2]{$\begin{Bmatrix}\text{#1}\\\text{#2}\end{Bmatrix}$}

\DeclareMathOperator\im{im}

\begin{document}
\noindent
Universität Konstanz\hfill Einführung in die Algebra\\
Fachbereich Mathematik und Statistik\hfill Wintersemester 2017/2018\\
Markus Schweighofer
\medskip
\hrule
\begin{center}
\section*{§3.3 Auflösbare Gruppen}
\setcounter{chapter}{3}
\setcounter{section}{3}
\end{center}
\hrule

\bigskip
\begin{df} \label{commutator}
Sei $G$ eine Gruppe. Für $a,b\in G$ nennt man $[a,b]:=aba^{-1}b^{-1}$ den \emph{Kommutator} von $a$ und $b$.
Man nennt $G':=\langle\{[a,b]\mid a,b\in G\}\rangle\le G$ die \emph{Kommutatorgruppe} von $G$. Weiter definiert man für
jedes $n\in\N_0$ die \emph{$n$-te Kommutatorgruppe} $G^{(n)}$ von $G$ rekursiv durch $G^{(0)}:=G$ und
$G^{(n+1)}:=(G^{(n)})'$ für $n\in\N_0$.
\end{df}

\begin{bem}\label{triv}
Sei $G$ eine Gruppe.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\forall a,b\in G:([a,b]=1\iff ab=ba)$
\item $G'=\{[a_1,b_1]\dotsm[a_m,b_m]\mid m\in\N_0,~a_i,b_i\in G\}$

["`$\supseteq$"' klar; "`$\subseteq$"' beachte $[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a]$ für $a,b\in G$]
\item $G'$ ist der kleinste Normalteiler $N$ von $G$ mit $G/N$ abelsch.

[$G'$ ist nach 1.3.12 eine charakteristische Untergruppe und daher ein Normalteiler von $G$; ist $N\lhd G$ mit $G/N$ abelsch, so
$\cc{[a,b]}N=\overline a\overline b\overline a^{-1}\overline b^{-1}=\cc{aa^{-1}}N\cc{bb^{-1}}N=1$ und daher
$[a,b]\in N$ für alle $a,b\in G$, woraus $G'\subseteq N$ folgt]
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{df}
Sei $n\in\N_0$. Eine Permutation der Form \[(x_1\dots x_\ell):=
\left(\begin{array}{l}\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}\\
\begin{tikzpicture}
  \node (Z) {};
  \begin{scope}[
    start chain=circle placed {nodes around center=270:6:Z:3em},
    every join/.append style={<-|},
    every node/.append style={
      on chain=circle,
      join,
      minimum size=2em
      }
  ]
    \foreach \cnt in {4,...,1}
      \node {$x_\cnt$};
          \node {$x_\ell$};
    \node[rotate=130] {\dots};
    \chainin (circle-begin);
  \end{scope}
\end{tikzpicture}\\
x\mapsto x\text{ für }x\in\{1,\dots,n\}\setminus\{x_1,\dots,x_\ell\}
\end{array}
\right)
\]
mit $\ell\in\{2,\dots,n\}$ und paarweise verschiedenen $x_1,\dots,x_\ell\in\{1,\dots,n\}$ nennt man einen \emph{$\ell$-Zykel} in $S_n$.
Man nennt $2$-Zykel auch Transpositionen.
\end{df}

\begin{pro}{\rm[$\to$1.1.12]}\label{three}
Sei $n\in\N_0$. Dann
\[A_n=\{\si_1\cdots\si_m\mid m\in\N_0,~\si_1,\dots,\si_m\text{ $3$-Zykel in }S_n\}.\]
\end{pro}

\begin{proof}
"`$\supseteq$"' Seien $x_1,x_2,x_3\in\{1,\dots,n\}$ paarweise verschieden. Zu zeigen: $(x_1\ x_2\ x_3)\in A_n$. Dies folgt aus
$(x_1\ x_2\ x_3)=(x_2\ x_3)(x_1\ x_3)$.

\smallskip\noindent
"`$\subseteq$"' Sind $x_1,x_2,x_3,x_4\in\{1,\dots,n\}$ paarweise verschieden, so
$(x_1\ x_2)(x_3\ x_4)=(x_1\ x_3\ x_2)(x_1\ x_3\ x_4)$. 

Sind $x_1,x_2,x_3\in\{1,\dots,n\}$ paarweise verschieden, so
$(x_1\ x_2)(x_2\ x_3)=(x_1\ x_2\ x_3)$.

Sind $x_1,x_2\in\{1,\dots,n\}$ mit $x_1\ne x_2$, so
$(x_1\ x_2)(x_1\ x_2)=1$.
\end{proof}

\begin{pro}\label{sn}
Sei $n\in\N_0$. Dann $S_n'=A_n$ und
\[A_n'=
\begin{cases}
\{1\}&\text{falls $n\le 3$,}\\
V_4:=\{1,(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3)\}\cong V&\text{falls $n=4$,}\\
A_n&\text{falls $n\ge5$.}
\end{cases}
\]
\begin{center}
  \tikzstyle{every node} = [align=center]
  \begin{tikzpicture}[baseline=1.1em]
  \coordinate (a) at (0,0);
  \coordinate (b) at (2,0);
  \coordinate (c) at (2,1);
  \coordinate (d) at (0,1);
  \draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- (a);
  \fill (a) circle (3pt);
  \fill (b) circle (3pt);
  \fill (c) circle (3pt);
  \fill (d) circle (3pt);
  \node[below left] at (0,0) {3};
  \node[below left] at (0,0) {3};
  \node[above left] at (0,1) {2};
  \node[above right] at (2,1) {1};
  \node[below right] at (2,0) {4};
  \draw (-1,0.5) -- (3,0.5);
  \draw (1,-0.5) -- (1,1.5);
  \end{tikzpicture}\quad{\rm[$\to$1.1.9(e)]}
\end{center}
\end{pro}

\begin{proof}
\underline{$S_n'\subseteq A_n$}\quad Nach \ref{triv}(c) genügt es zu zeigen, dass $S_n/A_n$ abelsch ist. Dies ist klar, da
$S_n/A_n\cong C_2$  für $n\ge2$ [$\to$1.3.18] und $S_n/A_n\cong C_1$ für $n\in\{0,1\}$.

\smallskip\noindent
\underline{$A_n\subseteq S_n'$}\quad Nach \ref{three} genügt es zu zeigen, dass jeder $3$-Zykel in $S_n'$ liegt. Seien hierzu $x_1,x_2,x_3$
paarweise verschieden. Dann
\[(x_1\ x_2\ x_3)=(x_1\ x_3)(x_2\ x_3)(x_1\ x_3)^{-1}(x_2\ x_3)^{-1}=[(x_1\ x_3),(x_2\ x_3)]\in S_n'.\]

\smallskip\noindent
\underline{$A_n'=\{1\}$ für $n\le3$}\ \ Für $n\le3$ ist $A_n\cong A_n/\{1\}$ abelsch, da $\#A_n\le\#A_3=\frac{\#S_3}2=\frac{3!}2=3$.

\smallskip\noindent
\underline{$A_4'=V_4$}\quad "`$\subseteq$"' Wegen $\#A_4=\frac{4!}2=4\cdot3=12$ gilt
$\#(A_4/V_4)=3$ und $A_4/V_4$ ist abelsch.

\smallskip\noindent
"`$\supseteq$"' Ist $\{x_1,x_2,x_3,x_4\}=\{1,2,3,4\}$, so nach \ref{three}
\begin{align*}
(x_1\ x_2)(x_3\ x_4)&=(x_1\ x_2\ x_3)(x_1\ x_2\ x_4)(x_1\ x_2\ x_3)^{-1}(x_1\ x_2\ x_4)^{-1}\\
&=[\underbrace{(x_1\ x_2\ x_3)}_{\in A_4},\underbrace{(x_1\ x_2\ x_3)}_{\in A_4}]\in A_4'.
\end{align*}

\smallskip\noindent
\underline{$A_n'=A_n$ falls $n\ge5$}\quad Sei $n\ge5$. Zu zeigen: $A_n\subseteq A_n'$.
Seien $x_1,x_2,x_3\in\{1,\dots,n\}$ paarweise verschieden. Zu zeigen: $(x_1\ x_2\ x_3)\in A_n'$. Wähle
$x_4,x_5\in\{1,\dots,n\}\setminus\{x_1,x_2,x_3\}$ mit $x_4\ne x_5$. Dann
\[(x_1\ x_2\ x_3)=(x_1\ x_2\ x_4)(x_1\ x_3\ x_5)(x_1\ x_2\ x_4)^{-1}(x_1\ x_3\ x_5)^{-1}
=[(x_1\ x_2\ x_4),(x_1\ x_3\ x_5)]\in A_n'.\]
\end{proof}

\begin{df}
Sei $G$ eine Gruppe. Es heißt $(G_0,\dots,G_n)$ eine \emph{Normalreihe} von $G$, wenn
$G=G_0\rhd G_1\rhd\dots\rhd G_n=\{1\}$. In diesem Fall heißen die Gruppen $G_k/G_{k+1}$ ($k\in\{0,\dots n-1\}$)
die \emph{Faktoren} dieser Normalreihe. Es heißt $G$ \emph{auflösbar}, wenn $G$ eine Normalreihe mit (lauter) abelschen Faktoren
besitzt.
\end{df}

\begin{sat}
Sei $G$ eine Gruppe. Dann
\[\text{$G$ auflösbar}\iff\exists n\in\N_0:G^{(n)}=\{1\}.\]
\end{sat}

\begin{proof}
"`$\Longleftarrow$"' Ist $n\in\N_0$ mit $G^{(n)}=\{1\}$, so ist $(G^{(0)},\dots,G^{(n)})$ eine Normalreihe von $G$ mit abelschen
Faktoren.

\smallskip\noindent
"`$\implies$"' Sei $(G_0,\dots,G_n)$ eine Normalreihe von $G$ mit abelschen
Faktoren. Wir zeigen durch Induktion nach $k\in\{0,\dots,n\}$, dass $G^{(k)}\subseteq G_k$:

\underline{$k=0$}\quad$G^{(0)}=G=G_0$

\underline{$k\to k+1$\quad($k\in\{0,\dots,n-1\}$)}\quad$G^{(k+1)}=(G^{(k)})'\overset{\text{IV}}{\underset{G^{(k)}\subseteq G_k}\subseteq}G_k'
\overset{\substack{G_k/G_{k+1}\\\text{abelsch}}}\subseteq G_{k+1}$
\end{proof}

\begin{sat}
$S_n$ ist auflösbar für $n\le4$, nicht aber für $n\ge5$.
\end{sat}

\begin{proof}
Nach Proposition \ref{sn} gilt $S_n^{(2)}=A_n'=\{1\}$ für $n\le3$,
\[S_4^{(3)}=A_4^{(2)}=V_4'\overset{\substack{V_4\cong V\cong C_2\times C_2\\\text{abelsch}}}=\{1\}\]
und $S_n^{(1)}=S_n^{(2)}=\ldots=A_n\ne\{1\}$ für $n\ge5$.
\end{proof}

\begin{pro}\label{divcon}
Sei $G$ eine Gruppe.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ist $G$ auflösbar und $H\le G$, so ist auch $H$ auflösbar.
\item Ist $N\lhd G$, so
\[\text{$G$ auflösbar}\iff(\text{$N$ auflösbar} \et \text{$G/N$ auflösbar}).\]
\end{enumerate}
\end{pro}

\begin{proof}
(a) Klar, da man durch Induktion $H^{(n)}\subseteq G^{(n)}$ für alle $n\in\N_0$ zeigt.

\smallskip\noindent
(b) Gelte $N\lhd G$. Durch Induktion zeigt man
$(G/N)^{(n)}=(G^{(n)}N)/N$ für alle $n\in\N_0$ [$\to$1.4.1]:

\underline{$n=0$}\quad$G/N=\underbrace{(GN)}_{=G}/N$

\vspace{1em}
\underline{$n\to n+1$ ($n\in\N_0$)}
\begin{eqnarray*}
(G/N)^{(n+1)}&=&((G/N)^{(n)})'\overset{\text{IV}}=((G^{(n)}N)/N)'\\
&\overset{\text{\ref{triv}(b)}}=&\{[\cc{a_1n_1}N,\cc{a_1'n_1'}N]\dotsm[\cc{a_mn_m}N,\cc{a_m'n_m'}N]
\mid m\in\N_0,~a_i,a_i'\in G^{(n)},~n_i,n_i'\in\N\}\\
&=&\{\cc{[a_1,a_1']\dotsm[a_m,a_m']}N\mid m\in\N_0,~a_i,a_i'\in G^{(n)}\}\\
&\overset{\text{\ref{triv}(b)}}=&\{\cc gN\mid g\in G^{(n+1)}\}=\{\cc{gn}N\mid g\in G^{(n+1)},~n\in N\}=(G^{(n+1)}N)/N
\end{eqnarray*}

\smallskip\noindent
"`$\implies$"' Ist $n\in\N$ mit $G^{(n)}=\{1\}$, so
$(G/N)^{(n)}=(G^{(n)}N)/N=N/N=\{1\}$.

\smallskip\noindent
"`$\Longleftarrow$"' Ist $n\in\N$ mit $N^{(n)}=\{1\}$ und $(G/N)^{(n)}=\{1\}$, so $(G^{(n)}N)/N=N/N$, also $G^{(n)}\subseteq N$ und
$G^{(2n)}\subseteq N^{(n)}=\{1\}$.
\end{proof}

\newpage
\begin{sat}
Sei $p\in\P$. Jede $p$-Gruppe ist auflösbar.
\end{sat}

\begin{proof}
Wir zeigen durch Induktion nach $e\in\N_0$, dass alle Gruppen $G$ mit $\#G=p^e$ auflösbar sind.

\noindent
\underline{$e=0$} \checkmark

\noindent
\underline{$0,\dots,e-1\to e$\quad($e\in\N$)} Sei $G$ eine Gruppe mit $\#G=p^e$.
Nach 3.1.18 gilt $\#Z(G)>1$. Nach dem Satz von Lagrange 1.3.19 gibt es also $d\in\{0,\dots,e-1\}$ mit
$\#(G/Z(G))=p^d$ (siehe auch 1.3.14). Nach Induktionsvoraussetzung ist $G/Z(G)$ auflösbar. Da $Z(G)$ abelsch und daher auch
auflösbar ist, folgt mit \ref{divcon}(b), dass auch $G$ auflösbar ist.
\end{proof}

\begin{pro}\label{bij}
Sei $G$ eine Gruppe und $N\lhd G$. Bezeichne $\pi\colon G\to G/N,\ a\mapsto\overline a^N$ den kanonischen Epimorphismus.
Dann wird durch die Zuordnungen
\begin{align*}
I&\mapsto\pi(I)=I/N\qquad\text{und}\\
\pi^{-1}(J)&\mapsfrom J
\end{align*}
eine Bijektion zwischen der Menge der \case{Untergruppen}{Normalteiler} $I$ von $G$ mit $N\subseteq I$ und der Menge der
\case{Untergruppen}{Normalteiler} von $G/N$ definiert.
\end{pro}

\begin{proof}
Übung.
\end{proof}

\begin{sat}
Sei $G$ eine endliche Gruppe und $(G_0,\dots,G_m)$ eine Normalreihe von $G$ mit abelschen Faktoren. Dann gibt es eine
Normalreihe $(H_0,\dots,H_n)$ von $G$ mit $\{G_0,\dots,G_m\}\subseteq\{H_0,\dots,H_n\}$, deren Faktoren $H_k/H_{k+1}$ alle
zyklisch von Primzahlordnung sind.
\end{sat}

\begin{proof}
Ohne Einschränkung \[G=G_0\underset\ne\rhd G_1\underset\ne\rhd\dots\underset\ne\rhd G_m=\{1\}.\] Sei $k\in\{0,\dots,m-1\}$ mit
$\#(G_k/G_{k+1})\not\in\P$. Dann gibt es sicher $J$ mit
\[\{1\}\underset{\text{echt}}<J\underset{\text{echt}}<G_k/G_{k+1}\]
(z.B. wegen 3.2.6(a) oder indem man $J$ einfach als geeignete
zyklische Untergruppe von $G_k/G_{k+1}$ wählt). Da $G_{k+1}/G_k$ abelsch ist, gilt
\[\{1\}\underset\ne\lhd J\underset\ne\lhd G_k/G_{k+1}.\]
Für $I:=\pi^{-1}(J)$ mit $\pi\colon G_k\to G_k/G_{k+1}$ kanonisch
gilt nach \ref{bij} dann \[G_k\underset\ne\rhd I\underset\ne\rhd G_{k+1}.\] Es ist $I$ der Kern von
$G_k\twoheadrightarrow G_k/G_{k+1}\twoheadrightarrow(G_k/G_{k+1})/J$ und daher 
$G_k/I\cong\underbrace{(\underbrace{G_k/G_{k+1}}_{\text{abelsch}})/J}_{\text{abelsch}}$ abelsch. Weiter ist
$I/G_{k+1}\le\underbrace{G_k/G_{k+1}}_{\text{abelsch}}$ auch abelsch. Mache nun so weiter\dots
\end{proof}
\end{document}