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    % #1 = Startwinkel,   #2 = Anzahl Knoten
    % #3 = Zentrums-Node, #4 = Abstand
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\begin{document}
\title{§3.3 Auflösbare Gruppen}
\date{}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Definition.}
Sei $G$ eine Gruppe. Für \s{$a,b\in G$} nennt man \[\s{\a{[a,b]}:=aba^{-1}b^{-1}}\] den \s{\a{Kommutator} von $a$ und $b$}.\pause

\bigskip
Man nennt \[\s{\a{G'}:=\langle\{[a,b]\mid a,b\in G\}\rangle\le G}\] die \a{Kommutatorgruppe} von $G$.\pause

\bigskip
Weiter definiert man für
jedes $n\in\N_0$ die \a{$n$-te Kommutatorgruppe $G^{(n)}$} von $G$ rekursiv durch
\[\s{G^{(0)}:=G}\qquad\text{und}\qquad\s{G^{(n+1)}:=(G^{(n)})'}\]
für $n\in\N_0$.
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Bemerkung.}
Sei $G$ eine Gruppe.
\begin{enumerate}[(a)]
\item \a{$\forall a,b\in G:(\s{[a,b]=1\iff ab=ba})$}\pause
\item \a{$G'=\{\s{[a_1,b_1]\dotsm[a_m,b_m]}\mid m\in\N_0,~a_i,b_i\in G\}$}\pause

["`$\supseteq$"' klar;\pause

"`$\subseteq$"' beachte $[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a]$ für $a,b\in G$]\pause

\item \a{$G'$ ist der kleinste Normalteiler $N$ von $G$ mit $G/N$ abelsch.}\pause

[$G'$ ist eine charakteristische Untergruppe und daher ein Normalteiler von $G$;\pause

ist $N\lhd G$ mit $G/N$ abelsch, so
$\cc{[a,b]}N=\overline a\overline b\overline a^{-1}\overline b^{-1}=\cc{aa^{-1}}N\cc{bb^{-1}}N=1$\pause\ und daher
$[a,b]\in N$ für alle $a,b\in G$,\pause\ woraus $G'\subseteq N$ folgt]
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Definition.}
Sei $n\in\N_0$. Eine Permutation der Form \[(x_1\dots x_\ell):=
\left(\begin{array}{l}\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}\\
\begin{tikzpicture}
  \node (Z) {};
  \begin{scope}[
    start chain=circle placed {nodes around center=270:6:Z:3em},
    every join/.append style={<-|},
    every node/.append style={
      on chain=circle,
      join,
      minimum size=2em
      }
  ]
    \foreach \cnt in {4,...,1}
      \node {$x_\cnt$};
          \node {$x_\ell$};
    \node[rotate=130] {\dots};
    \chainin (circle-begin);
  \end{scope}
\end{tikzpicture}\\
x\mapsto x\text{ für }x\in\{1,\dots,n\}\setminus\{x_1,\dots,x_\ell\}
\end{array}
\right)
\]
mit $\ell\in\{2,\dots,n\}$ und paarweise verschiedenen $x_1,\dots,x_\ell\in\{1,\dots,n\}$ nennt man einen \a{$\ell$-Zykel} in $S_n$.\pause

\bigskip
Man nennt $2$-Zykel auch Transpositionen.
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Proposition.}
Sei $n\in\N_0$. Dann
\[\s{A_n=\{\si_1\cdots\si_m\mid m\in\N_0,~\si_1,\dots,\si_m \text{ $\a 3$-Zykel in }S_n\}}.\pause\]

\begin{proof}
"`$\supseteq$"' Seien $x_1,x_2,x_3\in\{1,\dots,n\}$ paarweise verschieden.\\
\s{Zu zeigen: $(x_1\ x_2\ x_3)\in A_n$.}\pause\\
Dies folgt aus $(x_1\ x_2\ x_3)=(x_2\ x_3)(x_1\ x_3)$.

\medskip
"`$\subseteq$"' Sind $x_1,x_2,x_3,x_4\in\{1,\dots,n\}$ paarweise verschieden, so
$(x_1\ x_2)(x_3\ x_4)=(x_1\ x_3\ x_2)(x_1\ x_3\ x_4)$.\pause

\s{Sind $x_1,x_2,x_3\in\{1,\dots,n\}$ paarweise verschieden, so\\
$(x_1\ x_2)(x_2\ x_3)=(x_1\ x_2\ x_3)$.}\pause

Sind $x_1,x_2\in\{1,\dots,n\}$ mit $x_1\ne x_2$, so\\
$(x_1\ x_2)(x_1\ x_2)=1$.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Proposition.}
Sei $n\in\N_0$. Dann \a{$S_n'=A_n$} und\onslide<2->
\[A_n'=
\begin{cases}
\{1\}&\text{falls $n\le 3$,}\\
V_4:=\{1,(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3)\}\b{\cong V}&\text{falls $n=4$,}\\
A_n&\text{falls $n\ge5$.}
\end{cases}
\]
\begin{overprint}
\onslide<3>
\b{
\begin{center}
  \tikzstyle{every node} = [align=center]
  \begin{tikzpicture}[baseline=1.1em]
  \coordinate (a) at (0,0);
  \coordinate (b) at (2,0);
  \coordinate (c) at (2,1);
  \coordinate (d) at (0,1);
  \draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- (a);
  \fill (a) circle (3pt);
  \fill (b) circle (3pt);
  \fill (c) circle (3pt);
  \fill (d) circle (3pt);
  \node[below left] at (0,0) {3};
  \node[below left] at (0,0) {3};
  \node[above left] at (0,1) {2};
  \node[above right] at (2,1) {1};
  \node[below right] at (2,0) {4};
  \draw (-1,0.5) -- (3,0.5);
  \draw (1,-0.5) -- (1,1.5);
  \end{tikzpicture}
\end{center}
}
\onslide<4>
\s{Beweis.}

\smallskip
\a{\underline{$S_n'\subseteq A_n$}}\quad Es genügt zu zeigen, dass $S_n/A_n$ abelsch ist. Dies ist klar, da
$S_n/A_n\cong C_2$  für $n\ge2$ und $S_n/A_n\cong C_1$ für $n\in\{0,1\}$.

\smallskip
\a{\underline{$A_n\subseteq S_n'$}}\quad Es genügt zu zeigen, dass jeder $3$-Zykel in $S_n'$ liegt. Seien hierzu $x_1,x_2,x_3$
paarweise verschieden. Dann
\[(x_1\ x_2\ x_3)=(x_1\ x_3)(x_2\ x_3)(x_1\ x_3)^{-1}(x_2\ x_3)^{-1}=[(x_1\ x_3),(x_2\ x_3)]\in S_n'.\]

\onslide<5>
\s{Beweis.}

\a{\underline{$A_n'=\{1\}$ für $n\le3$}}\ \ Für $n\le3$ ist $A_n\cong A_n/\{1\}$ abelsch, da $\#A_n\le\#A_3=\frac{\#S_3}2=\frac{3!}2=3$.

\onslide<6-7>
\s{Beweis.}

\a{\underline{$A_4'=V_4$}}\quad \a{"`$\subseteq$"'} Wegen $\#A_4=\frac{4!}2=4\cdot3=12$ gilt
$\#(A_4/V_4)=3$ und $A_4/V_4$ ist abelsch.

\onslide*<7>{

\medskip
\a{"`$\supseteq$"'} Ist $\{x_1,x_2,x_3,x_4\}=\{1,2,3,4\}$, so
\begin{eqnarray*}
(x_1\ x_2)(x_3\ x_4)&=&(x_1\ x_2\ x_3)(x_1\ x_2\ x_4)(x_1\ x_2\ x_3)^{-1}(x_1\ x_2 x_4)^{-1}\\
&=&[(x_1\ x_2\ x_3),(x_1\ x_2\ x_3)]\in A_4'.
\end{eqnarray*}
}

\onslide<8>
\s{Beweis.}

\a{\underline{$A_n'=A_n$ falls $n\ge5$}}\quad Sei $n\ge5$. \s{Zu zeigen: $A_n\subseteq A_n'$.}\\
Seien $x_1,x_2,x_3\in\{1,\dots,n\}$ paarweise verschieden.\\\s{Zu zeigen: $(x_1\ x_2\ x_3)\in A_n'$.}\\
Wähle $x_4,x_5\in\{1,\dots,n\}\setminus\{x_1,x_2,x_3\}$ mit $x_4\ne x_5$. Dann
\begin{eqnarray*}
(x_1\ x_2\ x_3)&=&(x_1\ x_2\ x_4)(x_1\ x_3\ x_5)(x_1\ x_2\ x_4)^{-1}(x_1\ x_3\ x_5)^{-1}\\
&=&[(x_1\ x_2\ x_4),(x_1\ x_3\ x_5)]\in A_n'.
\end{eqnarray*}
\qed
\end{overprint}
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Definition.}
Sei $G$ eine Gruppe. Es heißt $(G_0,\dots,G_n)$ eine \a{Normalreihe} von $G$, wenn
\[G=G_0\rhd G_1\rhd\dots\rhd G_n=\{1\}.\pause\] In diesem Fall heißen die Gruppen \a{$G_k/G_{k+1}$} ($k\in\{0,\dots n-1\}$)
die \a{Faktoren} dieser Normalreihe.\pause

\bigskip
Es heißt $G$ \a{auflösbar}, wenn $G$ eine Normalreihe mit (lauter) abelschen Faktoren
besitzt.
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Satz.}
Sei $G$ eine Gruppe. Dann
\[\s{\text{$G$ auflösbar}\iff\exists n\in\N_0:G^{(n)}=\{1\}}.\pause\]

\begin{proof}
\a{"`$\Longleftarrow$"'} Ist $n\in\N_0$ mit $G^{(n)}=\{1\}$, so ist $(G^{(0)},\dots,G^{(n)})$ eine Normalreihe von $G$ mit abelschen
Faktoren.\pause

\smallskip
\a{"`$\implies$"'} Sei $(G_0,\dots,G_n)$ eine Normalreihe von $G$ mit abelschen
Faktoren. \s{Wir zeigen durch Induktion nach $k\in\{0,\dots,n\}$, dass $G^{(k)}\subseteq G_k$}:\pause

\smallskip
\s{\underline{$k=0$}}\quad$G^{(0)}=G=G_0$\pause

\smallskip
\s{\underline{$k\to k+1$\quad($k\in\{0,\dots,n-1\}$)}}\quad$G^{(k+1)}=(G^{(k)})'\overset{\s{\text{IV}}}{\underset{\a{G^{(k)}\subseteq G_k}}\subseteq}G_k'
\overset{\a{\substack{G_k/G_{k+1}\\\text{abelsch}}}}\subseteq G_{k+1}$
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Satz.}
$S_n$ ist auflösbar für $n\le4$, \a{nicht aber für $n\ge5$}.\pause

\begin{proof}
Es gilt $S_n^{(2)}=A_n'=\{1\}$ für $n\le3$,\pause
\[S_4^{(3)}=A_4^{(2)}=V_4'\overset{\s{\substack{V_4\cong V\cong C_2\times C_2\\\text{abelsch}}}}=\{1\}\pause\]
und \a{$S_n^{(1)}=S_n^{(2)}=\ldots=A_n\ne\{1\}$ für $n\ge5$}.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Proposition.}
Sei $G$ eine Gruppe.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ist $G$ auflösbar und $H\le G$, so ist auch $H$ auflösbar.
\item Ist $N\lhd G$, so
\[\text{$G$ auflösbar}\iff(\text{$N$ auflösbar} \et \text{$G/N$ auflösbar}).\]
\end{enumerate}

\s{Beweis.}
\begin{overprint}
\onslide<2>(a) Klar, da man durch Induktion \s{$H^{(n)}\subseteq G^{(n)}$ für alle $n\in\N_0$} zeigt.

\onslide<3>
(b) Gelte $N\lhd G$. \s{Durch Induktion zeigt man
$(G/N)^{(n)}=(G^{(n)}N)/N$ für alle $n\in\N_0$:}

\s{\underline{$n=0$}}\quad$G/N=\overbrace{(GN)}^{=G}/N$

\vspace{1em}
\s{\underline{$n\to n+1$ ($n\in\N_0$)}}
\begin{multline*}
(G/N)^{(n+1)}=((G/N)^{(n)})'\overset{\text{\s{IV}}}=((G^{(n)}N)/N)'\\
=\{[\overline{a_1n_1},\overline{a_1'n_1'}]\dotsm[\overline{a_mn_m},\overline{a_m'n_m'}]
\mid m\in\N_0,~a_i,a_i'\in G^{(n)},~n_i,n_i'\in\N\}\\
=\{\overline{[a_1,a_1']\dotsm[a_m,a_m']}\mid m\in\N_0,~a_i,a_i'\in G^{(n)}\}\\
=\{\overline g\mid g\in G^{(n+1)}\}=\{\overline{gn}\mid g\in G^{(n+1)},~n\in N\}=(G^{(n+1)}N)/N
\end{multline*}

\onslide<4-5>
\a{"`$\implies$"'} Ist $n\in\N$ mit $G^{(n)}=\{1\}$, so
\[(G/N)^{(n)}=(G^{(n)}N)/N=N/N=\{1\}.\]

\onslide*<5>{
\smallskip
\a{"`$\Longleftarrow$"'} Ist $n\in\N$ mit $N^{(n)}=\{1\}$ und $(G/N)^{(n)}=\{1\}$, so
\[(G^{(n)}N)/N=N/N,\] also $G^{(n)}\subseteq N$ und
$G^{(2n)}\subseteq N^{(n)}=\{1\}$.\qed
}
\end{overprint}
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Satz.}
Sei $p\in\P$. \a{Jede $p$-Gruppe ist auflösbar.}\pause

\begin{proof}
Wir zeigen durch \s{Induktion nach $e\in\N_0$}, dass \s{alle Gruppen $G$ mit $\#G=p^e$ auflösbar} sind.\pause

\bigskip
\s{\underline{$e=0$}} \checkmark\pause

\bigskip
\s{\underline{$0,\dots,e-1\to e$\quad($e\in\N$)}} Sei $G$ eine Gruppe mit $\#G=p^e$.\pause\\
\a{Es gilt $\#Z(G)>1$.\pause} Nach dem Satz von Lagrange gibt es also $d\in\{0,\dots,e-1\}$ mit
$\#(G/Z(G))=p^d$.\pause\\
\s{Nach Induktionsvoraussetzung ist $G/Z(G)$ auflösbar.}\pause\\
Da $Z(G)$ abelsch und daher auch auflösbar ist,\\
ist auch $G$ auflösbar.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Proposition.}
Sei $G$ eine Gruppe und \s{$N\lhd G$}.\pause\\
Bezeichne \s{$\pi\colon G\to G/N,\ a\mapsto\overline a^N$} den kanonischen Epimorphismus.\pause\
Dann wird durch die Zuordnungen
\begin{align*}
\a I&\mapsto\s{\pi(I)=I/N}\qquad\text{und}\\
\a{\pi^{-1}(J)}&\mapsfrom\s J
\end{align*}
eine Bijektion \b{zwischen} der Menge der \a{\case{Untergruppen}{Normalteiler} $I$ von $G$ mit $N\subseteq I$} \b{und} der Menge der
\s{\case{Untergruppen}{Normalteiler} von $G/N$} definiert.

\begin{proof}
Übung.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Satz.}
Sei $G$ eine endliche Gruppe und \s{$(G_0,\dots,G_m)$ eine Normalreihe von $G$ mit \a{abelschen} Faktoren}. Dann gibt es eine
\s{Normalreihe $(H_0,\dots,H_n)$ von $G$} mit \a{$\{G_0,\dots,G_n\}\subseteq\{H_0,\dots,H_m\}$,} deren Faktoren $H_k/H_{k+1}$ alle
\a{zyklisch von Primzahlordnung} sind.\pause

\medskip
\s{Beweis.} \OE\ $G=G_0\underset{\a\ne}\rhd G_1\underset{\a\ne}\rhd\dots\underset{\a\ne}\rhd G_m=\{1\}$.\pause\\
\s{Sei $k\in\{0,\dots,m-1\}$ mit
$\#(G_k/G_{k+1})\not\in\P$.}\pause\ Dann gibt es $J$ mit
\[\alt<5->{\{1\}\underset{\a\ne}\lhd J\underset{\a\ne}\lhd G_k/G_{k+1}}{\{1\}\underset{\text{\a{echt}}}<J\underset{\text{\a{echt}}}<G_k/G_{k+1}}.\pause\]
Für $I:=\pi^{-1}(J)$ mit \s{$\pi\colon G_k\to G_k/G_{k+1}$ kanonisch}
gilt dann \[G_k\underset{\a\ne}\rhd I\underset{\a\ne}\rhd G_{k+1}.\pause\] Es ist $I$ der Kern von
\s{$G_k\twoheadrightarrow G_k/G_{k+1}\twoheadrightarrow(G_k/G_{k+1})/J$} und daher 
$G_k/I\cong\underbrace{(\underbrace{G_k/G_{k+1}}_{\text{\a{abelsch}}})/J}_{\text{\a{abelsch}}}$ \a{abelsch}.\pause\ Weiter ist
$I/G_{k+1}\le\underbrace{G_k/G_{k+1}}_{\text{\a{abelsch}}}$ auch \a{abelsch}.\pause\ Mache nun so weiter\dots\qed
\end{frame}
\end{document}