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\begin{document}
\title{§11.3 Diagonalisierung symmetrischer und hermitescher Matrizen}
\date{}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{df}
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt und $f\in\End(V)$.\\
Dann heißt $f$ \s{selbstadjungiert}, wenn
$$\b{\langle f(v),w\rangle=\langle v,f(w)\rangle\qquad\text{für alle $v,w\in V$}}.$$\pause
\end{df}

\begin{bsp} \s{Die orthogonale Projektion $P_U\in\End(V)$ auf einen endlichdimensionalen UR $U$ eines VRs mit Skalarprodukt $V$ ist selbstadjungiert.}\pause\
In der Tat: Wegen $V=U+U^\perp$ reicht es zu beobachten, dass für alle $u_1,u_2\in U$ und $v_1,v_2\in U^\perp$ gilt
$\langle P_U(u_1+v_1),u_2+v_2\rangle=\langle u_1,u_2+v_2\rangle=\langle u_1,u_2\rangle$ und
$\langle u_1+v_1,P_U(u_2+v_2)\rangle=\langle u_1+v_1,u_2\rangle=\langle u_1,u_2\rangle$.\pause
\end{bsp}

\begin{df}
Eine Matrix \b{$A\in\K^{n\times n}$} heißt \s{selbstadjungiert} {\rm(}im Fall $\K=\R$ auch \s{symmetrisch}, im Fall $\K=\C$ auch \s{hermitesch}{\rm)}, wenn $f_A\in\End(\K^n)$ selbstadjungiert ist.\pause
\end{df}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sat}
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt und \s{ONB $\v=(v_1,\dots,v_n)$}.\\
Sei $f\in\End(V)$. Dann gilt: \b{$\text{$f$ selbstadjungiert} \iff\text{$M(f,\v)$ selbstadjungiert}$}.\pause
\end{sat}

\begin{proof} Es gilt \s{$f=\ve_\v\circ f_{M(f,\v)}\circ\co_\v$} [$\to$7.1.1] und daher
\s{$f\circ\a{\ve_\v}=\a{\ve_\v}\circ f_{M(f,\v)}$}. Da $\v$ eine ONB ist, ist $\a{\ve_\v}$ nach 11.2.24 ein Isomorphismus
von VRen mit Skalarprodukt.\pause\ Es gilt daher
\begin{eqnarray*}
&&\text{$f$ selbstadjungiert}\\
&\iff&\forall v,w\in V\colon\langle f(v),w\rangle=\langle v,f(w)\rangle\\\pause
&\iff&\forall x,y\in\K^n\colon\langle \s f(\a{\ve_\v}(x)),\ve_\v(y)\rangle=\langle\ve_\v(x),\s f(\a{\ve_\v}(y))\rangle\\\pause
&\iff&\forall x,y\in\K^n\colon\langle \a{\ve_\v}(\s{M(f,\v)}x),\ve_\v(y)\rangle=\langle\ve_\v(x),\a{\ve_\v}(\s{M(f,\v)}y)\rangle\\\pause
&\iff&\forall x,y\in\K^n\colon\langle M(f,\v)x,y\rangle=\langle x,M(f,\v)y\rangle\\\pause
&\iff&\text{$M(f,\v)$ selbstadjungiert}
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{pro}
Seien $K$ ein kommutativer Ring, $m,n,r\in\N_0$, $A\in K^{m\times n}$ und $B\in K^{n\times r}$. Dann gilt:
\begin{enumerate}[\rm(a)]
\item $(AB)^T=B^TA^T$
\item $(AB)^*=B^*A^*$ \a{falls $K=\K$}
\end{enumerate}
\end{pro}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{lem}
Sei $A\in\K^{n\times n}$ und $x,y\in\K^n$. Dann gilt $\s{\langle A^*x,y\rangle=\langle x,Ay\rangle}$.\pause
\end{lem}

\begin{proof}
$\langle A^*x,y\rangle\overset{11.1.3(a)}=(A^*x)^*y=x^*(A^*)^*y=x^*Ay\overset{11.1.3(a)}=\langle x,Ay\rangle$\pause
\end{proof}

\begin{pro}
Für $A\in\K^{n\times n}$ gilt
$$\text{$A$ selbstadjungiert}\iff A^*=A.$$\pause
\end{pro}

\begin{proof}
\begin{eqnarray*}
\text{$A$ selbstadjungiert}&\iff&\forall x,y\in\K^n\colon\langle Ax,y\rangle=\langle x,Ay\rangle\\
&\iff&\forall x,y\in\K^n\colon\langle Ax,y\rangle=\langle A^*x,y\rangle\\
&\iff&A=A^*
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{lem}
Sei \s{$A\in\K^{n\times n}$ selbstadjungiert} und $\a{\la\in\C}$ mit \a{$\ch_A(\la)=0$}.\\\pause
Dann gilt \a{$\la\in\R$}.
\end{lem}

\begin{proof} Wir können $\K=\C$ annehmen.\pause\ Dann ist $\la$ ein Eigenwert von $A$,\\
das heißt es gibt \s{$x\in\C^n\setminus\{0\}$} mit $\s{Ax=\la x}$.\pause\ Es folgt
$$\la\langle x,x\rangle\overset{11.1.1(4)}=\langle x,\la x\rangle=\langle x,Ax\rangle=\langle Ax,x\rangle\overset{11.1.1(2)}=\langle\la x,x\rangle
=\la^*\langle x,x\rangle$$
und daher $\la=\la^*$ nach 11.1.1(6).
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sat}[benutzt Fundamentalsatz] Sei $V$ ein endlichdimensionaler
VR mit Skalarprodukt\\und $f$ ein \a{selbstadjungierter} Endomorphismus von $V$.\\
\s{Dann gibt es eine ONB von $V$, die aus Eigenvektoren von $f$ zu reellen Eigenwerten besteht.}\pause\
\b{Insbesondere ist $f$ diagonalisierbar.}\pause\
\end{sat}

\begin{proof} Induktion nach $n:=\dim V$.

\noindent
\underline{$n=0$}\quad nichts zu zeigen\pause

\noindent
\underline{$n-1\to n\ (n\in \N)$} \b{Wir zeigen zunächst, dass $f$ einen \s{reellen} Eigenwert $\la$
besitzt:\pause\ Wählt man nämlich eine ONB $\w$ von $V$ und setzt $A:=M(f,\w)$, so ist $A$
selbstadjungiert und daher jedes $\la\in\C$ mit $\ch_A(\la)=0$ nach dem Lemma sogar aus $\R$. Nun gilt aber $\ch_f=\ch_A$
und es gibt ein solches $\la$ wegen $\deg\ch_f=n\ge 1$ nach dem Fundamentalsatz der Algebra.}\pause

Wir wählen nun einen Eigenvektor $u\in V$ zu diesem Eigenwert $\la\in\R$. Setze $\s{U:=\lin(u)}$.\pause\ Da
$f$ selbstadjungiert ist, gilt $\s{f(U^\perp)\subseteq U^\perp}$, denn ist $v\in U^\perp$, so gilt
$\langle f(v),u\rangle=\langle v,f(u)\rangle=\la\langle v,u\rangle=0$.\pause\ Nun ist \s{$f|_{U^\perp}\colon U^\perp\to U^\perp,
v\mapsto f(v)$} ein \a{selbstadjungierter} Endomorphismus des VRs mit Skalarprodukt $U^\perp$\dots
%Es gilt $1+\dim(U^\perp)=\dim(U)+\dim(U^\perp)\overset{11.2.17}=\dim(V)=n$,
%also $\dim(U^\perp)=n-1$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine ONB
%$(v_2,\dots,v_n)$ von $U^\perp$, die aus Eigenvektoren von $f$ zu reellen Eigenwerten besteht.
%Setzt man $v_1:=\frac u{\|u\|}$, so erhält man eine ONB $(v_1,\dots,v_n)$ von
%$V$, die aus Eigenvektoren von $f$ zu reellen Eigenwerten besteht.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{kor}[benutzt Fundamentalsatz]
Sei $A\in\K^{n\times n}$ \a{selbstadjungiert}.\pause\ \b{Dann gibt es eine
\s{reelle} Diagonalmatrix $D\in\R^{n\times n}$ und eine \a{orthogonale} Matrix $P\in\K^{n\times n}$ mit
$A=P^*DP$.}\pause\  Insbesondere ist $A$ diagonalisierbar.
\end{kor}

\begin{proof}
Wähle ONB $\v$ von $\K^n$, die aus Eigenvektoren von $A$ zu reellen Eigenwerten
besteht.\pause\ Nach Satz 11.2.26 ist \s{$P:=M(\e,\v)$} [$\to$7.1.10] dann orthogonal und daher \[\s{P^*\overset{11.2.27(f)}=P^{-1}\overset{7.2.11}=M(\v,\e)}.\]\pause
Also \[\b{A\overset{7.1.4(e)}=M(f_A,\e)\overset{7.2.5}=M(\v,\e)M(f_A,\v)M(\e,\v)=P^*DP},\]
 wobei $D:=M(f_A,\v)$ eine reelle Diagonalmatrix ist.
\end{proof}
\end{frame}
\end{document}