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\begin{document}
\title{§11.2 Orthogonalität}
\date{}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{df}
Seien $V$ ein $\K$-VR mit Skalarprodukt und $v,w\in V$.\pause\\Es heißen \b{$v$ und $w$} \s{orthogonal} oder \s{senkrecht zueinander}\pause\\
(in Zeichen: \b{$v\perp w$}), wenn \b{$\langle v,w\rangle=0$}.\pause
\end{df}

\begin{bem}
Seien $V$ ein $\R$-VR mit Skalarprodukt und $v,w\in V$. Dann \b{$v\perp w\iff\measuredangle(v,w)=\frac\pi2$} nach der Definition von Winkeln 11.1.11, denn
\s{$\cos\frac\pi2=0$}.\pause\\Insbesondere stimmt unsere Definition von Senkrechtstehen in $\R^2$ und $\R^3$ nach 11.1.12 mit unserer geometrischen Anschauung überein.\pause 
\end{bem}

\begin{sat}[Satz von Pythagoras] Sei $V$ ein $\K$-VR mit Skalarprodukt und seien \s{$v,w\in V$} mit \s{$v\perp w$}. Dann \a{$\|v\|^2+\|w\|^2=\|v+w\|^2$}.\pause
\end{sat}

\begin{proof}\vspace{-2em}
\begin{eqnarray*}
\|v+w\|^2&=&\langle v+w,v+w\rangle\\\pause
&=&\langle v,v\rangle+\underbrace{\langle v,w\rangle}_{=0}+\underbrace{\langle w,v\rangle}_{=\langle v,w\rangle^*=0}+\langle w,w\rangle=\|v\|^2+\|w\|^2
\end{eqnarray*}.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{df}
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt. Seien $m\in\N_0$ und $v_1,\dots,v_m\in V$. Dann heißt $(v_1,\dots,v_m)$ ein \s{Orthonormalsystem (ONS)} (in $V$),\\\pause
wenn \s{$v_i\perp v_j$ für alle $i,j\in\{1,\dots,m\}$ mit $i\ne j$} und\\
\s{$\|v_i\|=1$ für alle $i\in\{1,\dots,m\}$}.\\\pause
Ein ONS, welches $V$ aufspannt, heißt \s{Orthonormalbasis (ONB)} von $V$.\pause
\end{df}

\begin{bsp}
Die Standardbasis des $\K^n$ ist eine ONB des $\K^n$ (versehen mit dem Standardskalarprodukt).\pause
\end{bsp}

\begin{pro}
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt und $(v_1,\dots,v_m)$ ein ONS in $V$.\\\pause
Seien $\la_1,\dots,\la_m\in\K$ und \s{$v:=\sum_{i=1}^m\la_iv_i$}.\\\pause
Dann \a{$\la_i=\langle v_i,v\rangle$} für alle $i\in\{1,\dots,m\}$.\pause
\end{pro}

\begin{proof}
$\langle v_j,\sum_{i=1}^m\la_iv_i\rangle=\sum_{i=1}^m\la_i\langle v_j,v_i\rangle=\la_j\
\underbrace{\langle v_j,v_j\rangle}_{=\|v_j\|^2=1}=\la_j$\\für alle $j\in\{1,\dots,m\}$
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{kor}
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt. In $V$ ist jedes ONS linear unabhängig.\pause\ Insbesondere ist jede ONB von $V$ eine Basis von $V$.\pause
\end{kor}

\begin{defprop}
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt und $U$ ein UR von $V$.\\\pause
Das \s{orthogonale Komplement} von $U$ in $V$ ist definiert durch
\[\b{U^\perp:=\{v\in V\mid\forall u\in U:v\perp u\}}\]\pause
und ist selber wieder ein UR von $V$ mit \s{$U\cap U^\perp=\{0\}$}\pause\ und \s{$U\subseteq(U^\perp)^\perp$}.\pause\
Ist $U=\lin(E)$ für ein $E\subseteq V$, so gilt
\s{$U^\perp=\{v\in V\mid\forall u\in E:v\perp u\}$}.
\end{defprop}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{defprop}
Seien $V$ ein VR mit Skalarprodukt, $U$ ein UR von $V$ und $v,w\in V$. Dann gibt es \a{höchstens ein} \s{$w\in U$} mit \s{$v-w\in U^\perp$}.\pause\
Falls existent, nennt man dieses $w$ die \s{orthogonale Projektion} von $v$ auf $U$.\pause
\end{defprop}

\begin{proof}
Seien \s{$w,w'\in U$} mit \s{$v-w,v-w'\in U^\perp$}.\pause\ Dann
\begin{eqnarray*}
\langle w-w',w-w'\rangle&=&\langle w-w',(v-w')-(v-w)\rangle\\\pause
&=&\langle\underbrace{w-w'}_{\in U},\underbrace{v-w'}_{\in U^\perp}\rangle-\langle\underbrace{w-w'}_{\in U},\underbrace{v-w}_{\in U^\perp}\rangle=0.\pause
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{bsp}
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt und $U$ ein UR von $V$.\\
\s{Ist $v\in U$, so ist $v$ selber die orthogonale Projektion von $v$ auf $U$.}\\\pause
\b{Ist $v\in U^\perp$, so ist sie der Nullvektor.}
\end{enumerate}
\end{bsp}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bsp}
\begin{enumerate}[(a)]
\item[(b)]
Betrachte den $\R$-VR $\R^\N$ der reellen Folgen\pause\ und darin den UR \s{$V:=\{f\mid f\colon\N\to\R,\exists c\in\R:\forall n\in\N:|f(n)|\le c\}$}
der \s{beschränkten} Folgen\pause\ sowie den \b{UR $U$ der Folgen mit endlichem Träger}.\pause\ Dann ist $V$ vermöge
\s{$\langle f,g\rangle:=\sum_{i=1}^\infty\frac1{2^i}f(i)g(i)\ (f,g\in V)$} ein VR mit Skalarprodukt\pause\ und \b{$U$ ein UR von $V$}.\pause\ Das orthogonale Komplement
$U^\perp$ von $U$ in $V$\pause\ besteht offenbar nur aus der Nullfolge.\pause\ Ist $f\in V$, so existiert die orthogonale Projektion von $f$ auf $U$ also genau dann, wenn $f\in U$\pause\ (und in diesem Fall ist sie $f$).
\end{enumerate}
\end{bsp}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{pro}
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt, $(v_1,\dots,v_m)$ ein ONS in $V$, $U:=\lin(v_1,\dots,v_m)$ und $v\in V$.\pause\ Dann ist
\s{$\sum_{i=1}^m\langle v_i,v\rangle v_i$ }die orthogonale Projektion von $v$ auf $U$.\pause\ Insbesondere existiert diese.\pause
\end{pro}

\begin{proof}
$w:=\sum_{i=1}^m\langle v_i,v\rangle v_i\in U$.\pause\ Um $v-w\in U^\perp$ zu zeigen,\pause\ reicht es $\langle v_j,v-w\rangle=0$ für $j\in\{1,\dots,m\}$ zu zeigen.\pause\
Sei also $j\in\{1,\dots,m\}$.
Dann
\begin{eqnarray*}
\langle v_j,v-w\rangle&=&\langle v_j,v-\sum_{i=1}^m\langle v_i,v\rangle v_i\rangle=\langle v_j,v\rangle-\sum_{i=1}^m\langle v_i,v\rangle
\underbrace{\langle v_j,v_i\rangle}_{\in\{0,1\}}\\\pause
&=&\langle v_j,v\rangle-\langle v_j,v\rangle=0.
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{kor}
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt und ONB $\underline v=(v_1,\dots,v_n)$.\pause\ Dann gilt
\[\co_\v(v)=\begin{pmatrix}\langle v_1,v\rangle\\\vdots\\\langle v_n,w\rangle\end{pmatrix}\qquad\text{für jedes }v\in V.\]\pause
\end{kor}

\begin{proof}
Die orthogonale Projektion eines $v\in V$ auf $V$ ist $v$ selber.\\\pause
Also gilt $v=\sum_{i=1}^n\langle v_i,v\rangle v_i$ für alle $v\in V$.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{pro}[Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren]
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt, $(v_1,\dots,v_m)$ ein ONS in $V$, $U:=\lin(v_1,\dots,v_m)$ und \a{$v\not\in U$}.\pause\ Sei dann \s{$w:=\sum_{i=1}^m\langle v_i,v\rangle v_i$}
die orthogonale Projektion von $v$ auf $U$.\pause\ Dann ist \s{$(v_1,\dots,v_m,\a{\frac{v-w}{\|v-w\|}})$} ein ONS\pause\ und es gilt 
\[\s{\lin(v_1,\dots,v_m,\a v)=\lin\left(v_1,\dots,v_m,\a{\frac{v-w}{\|v-w\|}}\right)}.\]\pause
\end{pro}

\begin{sat} Jeder endlichdimensionale VR mit Skalarprodukt besitzt eine ONB.
\end{sat}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{kor}
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt und $U$ ein endlichdimensionaler UR von $V$. Dann gibt es für jedes $v\in V$ die orthogonale Projektion $P_U(v)$
von $v$ auf $U$\pause\ und dadurch wird eine lineare Abbildung \s{$P_U\colon V\to V$} definiert,\pause\ deren \s{Kern $U^\perp$}\pause\ und deren \s{Bild $U$} ist.\pause
\end{kor}

\begin{proof}
Wähle eine ONB $(v_1,\dots,v_m)$ von $U$.\pause\ Dann \s{$P_U(v)=\sum_{i=1}^m\langle v_i,v\rangle v_i$} für alle $v\in U$.\pause\ Mit der Linearität
des Skalarprodukts im zweiten Argument rechnet man nun sofort die Linearität von $P_U$ nach.\pause\ Weiter gilt
\begin{eqnarray*}
\ker P_U&=&\left\{v\in V\mid\sum_{i=1}^m\langle v_i,v\rangle v_i=0\right\}\\\pause
&=&\{v\in V\mid\langle v_1,v\rangle=\ldots=\langle v_m,v\rangle=0\}\\\pause
&=&(\lin(v_1,\dots,v_m))^\perp=U^\perp.\pause
\end{eqnarray*}
Klar sind $U\subseteq\im P_U$ und $\im P_U\subseteq U$.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{pro}
Sei $U$ ein endlichdimensionaler UR des VRs mit Skalarprodukt $V$.\pause\\Dann gilt \s{$V=U\oplus U^\perp$}.\pause\
Für endlichdimensionales $V$ gilt insbesondere \s{$\dim(U)+\dim(U^\perp)=\dim(V)$}.\pause
\end{pro}

\begin{proof}
Für jedes $v\in V$ gilt $v=\underbrace{P_U(v)}_{\in U}+\underbrace{(v-P_U(v))}_{\in U^\perp}$, also $V=U+U^\perp$.\pause\ Weiter ist die lineare Abbildung
$U\times U^\perp\to U+U^\perp,\ (u,v)\mapsto u+v$ injektiv, denn ist $(u,v)\in U\times U^\perp$ mit $u+v=0$, so folgt
$u=-v\in U\cap U^\perp=\{0\}$.\pause
\end{proof}

\begin{kor}
Sei $U$ ein UR des \a{endlichdimensionalen} $\K$-VRs mit Skalarprodukt $V$. Dann \s{$U=(U^\perp)^\perp$}.\pause
\end{kor}

\begin{proof}
$U\subseteq(U^\perp)^\perp$ und $\dim(U)=\dim(V)-\dim(U^\perp)=\dim((U^\perp)^\perp)$
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{df}
Seien $V$ und $W$ VR mit Skalarprodukt. Dann heißt eine Abbildung \s{$f\colon V\to W$} ein \s{Homomorphismus von VR mit Skalarprodukt},
wenn \b{$f$ linear} ist und für alle $v,w\in V$ gilt
\b{$\langle f(v),f(w)\rangle=\langle v,w\rangle$}.\\\pause
Ist sie \b{zusätzlich bijektiv}, so heißt sie \s{Isomorphismus von VR mit Skalarprodukt\pause}
[beachte, dass die Injektivität automatisch erfüllt ist, da aus $f(v)=0$ folgt $\langle v,v\rangle=\langle f(v),f(v)\rangle=0$ und daher $v=0$].\pause
\end{df}

\begin{bem}
Aus der Polarisationsformel 11.1.10 folgt, dass man in dieser Definition die Bedingung \s{$\forall v,w\in V:\langle f(v),f(w)\rangle=\langle v,w\rangle$} ersetzen kann durch
\[\s{\forall v\in V:\|f(v)\|=\|v\|}.\]\pause
\end{bem}

\begin{bsp}
$R_\ph\in\End(\R^2)$ ist für jedes $\ph\in\R$ ein Isomorphismus des $\R^2$ mit Standardskalarprodukt.
\end{bsp}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sat}
Seien $V$ und $W$ $\K$-VR mit Skalarprodukt und sei \b{$\v=(v_1,\dots,v_n)$ eine ONB von $V$}. Sei $f\colon V\to W$ linear.\pause\ Dann ist $f$ genau dann ein
\s{Isomorphismus von VR mit Skalarprodukt}, wenn \b{$(f(v_1),\dots,f(v_n))$ eine ONB von $W$} ist.\pause
\end{sat}

\begin{proof}
Die eine Richtung ist klar.\pause\ Für die andere sei $(f(v_1),\dots,f(v_n))$ eine ONB von $W$. Nach 6.3.8 ist $f$ ein Isomorphismus von VR.\pause\
Seien nun $v,w\in V$, etwa \s{$v=\sum_{i=1}^n\la_iv_i$} und \s{$w=\sum_{i=1}^n\mu_iv_i$} mit $\la_i,\mu_i\in\K$.\\\pause
\a{Zu zeigen ist $\langle f(v),f(w)\rangle=\langle v,w\rangle$}.\pause\ Es gilt
\begin{eqnarray*}
\langle f(v),f(w)\rangle&=&\left\langle\sum_{i=1}^n\la_if(v_i),\sum_{j=1}^n\mu_jf(v_j)\right\rangle=\sum_{i,j=1}^n\la_i^*\mu_j\langle f(v_i),f(v_j)\rangle\\\pause
&=&\sum_{i=1}^n\la_i^*\mu_i=\sum_{i,j=1}^n\la_i^*\mu_j\langle v_i,v_j\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^n\la_iv_i,\sum_{j=1}^n\mu_jv_j\right\rangle\\\pause
&=&\langle v,w\rangle.
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{kor} Sei $n\in\N_0$. Je zwei $n$-dimensionale $\K$-VR mit Skalarprodukt sind als solche isomorph.\pause
\end{kor}

\begin{proof}
Seien $V$ und $W$ $n$-dimensionale $\K$-VR mit Skalarprodukt. Wähle ONB $(v_1,\dots,v_n)$ von $V$ und $(w_1,\dots,w_n)$ von $W$. Dann ist die lineare
Abbildung $f\colon V\to W$ mit $f(v_i)=w_i$ für $i\in\{1,\dots,n\}$ ein Isomorphismus von VR mit Skalarprodukt.\pause
\end{proof}

\begin{kor}
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt und $\v=(v_1,\dots,v_n)$ eine Basis von $V$. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[\rm(a)]
\item $\v$ ist ONB von $V$,
\item $\ve_\v\colon\K^n\to V$ ist ein Isomorphismus von VR mit Skalarprodukt.
\item $\co_\v\colon V\to\K^n$ ist ein Isomorphismus von VR mit Skalarprodukt.
\end{enumerate}
\end{kor}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{df}
Eine Matrix $A\in\K^{n\times n}$ heißt \s{orthogonal} (vor allem wenn $\K=\C$ manchmal auch \s{unitär}), wenn $f_A$ ein Isomorphismus des VRs $\K^n$
mit dem Standardskalarprodukt ist.\pause
\end{df}

\begin{sat}
Seien $V$ und $W$ VRe mit Skalarprodukt und ONB $\v=(v_1,\dots,v_n)$ und $\w=(w_1,\dots,w_n)$. Sei $f\colon V\to W$ linear. Dann gilt:
\[\text{$f$ ist Isomorphismus von VR mit Skalarprodukt}\iff\text{$M(f,\v,\w)$ orthogonal}.\]\pause
\end{sat}

\begin{proof}
$f=\ve_\w\circ f_{M(f,\v,\w)}\circ\co_\v$ und daher $f_{M(f,\v,\w)}=\co_\w\circ f\circ\ve_\v$.\pause\ Da $\ve_\w$, $\co_\v$, $\co_\w$ und $\ve_\v$
Isomorphismen von VRen mit Skalarprodukt sind, ist $f$ ein solcher genau dann, wenn $f_{M(f,\v,\w)}$ einer ist.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sat}
Sei $A\in\K^{n\times n}$. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[\rm(a)]
\item $A$ ist orthogonal.
\item Die Spalten von $A$ bilden eine ONB des $\K^n$.
\item Die Zeilen von $A$ bilden eine ONB des $\K^n$.
\item $A^*A=I_n$
\item $AA^*=I_n$
\item $A$ ist invertierbar mit $A^{-1}=A^*$.\pause
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof}
(a)$\iff$(b), weil $f_A(e_1),\dots,f_A(e_n)$ die Spalten von $A$ sind.\pause\ Direkt aus der Definition der Matrizenmultiplikation folgen (b)$\iff$(d) und (c)$\iff$(e).\pause\
Schließlich gilt (d)$\iff$(e)$\iff$(f) wegen 7.2.13.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bsp}
$\begin{pmatrix}\cos\ph&-\sin\ph\\\sin\ph&\cos\ph\end{pmatrix}$ ist für jedes $\ph\in\R$ orthogonal.
\end{bsp}
\end{frame}
\end{document}