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\begin{document}
\title{§11 Vektorräume mit Skalarprodukt}
\date{§11.1 Skalarprodukte}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
In diesem Kapitel sei stets $\K\in\{\R,\C\}$.\pause\ Ist $a\in\K$, so schreiben wir wieder $a^*$ für die komplex-konjugierte Zahl (falls $\K=\R$, so gilt natürlich $a^*=a$).\pause

\bigskip
Allgemeiner schreiben wir $A^*$ für die komplex-konjugierte transponierte Matrix $(a_{ij}^*)_{1\le j\le n,1\le i\le m}\in\K^{n\times m}$ einer Matrix
$A=(a_{ij})_{1\le i\le m,1\le j\le n}\in\K^{m\times n}$ (falls $\K=\R$, so gilt natürlich $A^*=A^T$).\pause

\bigskip
Zum Beispiel gilt
\[\begin{pmatrix}1+2\i&0&1\\0&-\i&2\end{pmatrix}^*=\begin{pmatrix}1-2\i&0\\0&\i\\1&2\end{pmatrix}.\]
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{df}\label{spdef}
Sei $V$ ein $\K$-VR. Ein \s{Skalarprodukt} auf $V$ ist eine Abbildung $V\times V\to\K,\ (v,w)\mapsto\langle v,w\rangle$ derart, dass für alle
$u,v,w\in V$ und $\la\in\K$ gilt:
\begin{eqnarray}
\langle u+v,w\rangle&=&\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle\\
\langle\la v,w\rangle&=&\la^*\langle v,w\rangle\\
\langle u,v+w\rangle&=&\langle u,v\rangle+\langle u,w\rangle\\
\langle v,\la w\rangle&=&\la\langle v,w\rangle\\
\langle v,w\rangle&=&\langle w,v\rangle^*\\
v\ne0&\implies&\langle v,v\rangle>0
\end{eqnarray}
\end{df}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bem}\label{sprem}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Sei $V$ ein $K$-VR und $V\times V\to\K,\ (v,w)\mapsto\langle v,w\rangle$ eine Abbildung, die (4),(5) erfüllt.
Dann gilt $\langle v,0\rangle=\langle v,0_\K\cdot0\rangle=0_\K\langle v,0\rangle=0_\K$ und daher $\langle0,v\rangle=\langle v,0\rangle^*=0_\K^*=0_\K$. Beachte auch, dass
gilt $\langle v,v\rangle\in\R$ für alle $v\in V$. Es ist dann (6) äquivalent dazu, dass für alle $v\in V$ gilt
\begin{equation}\tag{6'}
\langle v,v\rangle\ge0\qquad\text{und}\qquad(\langle v,v\rangle=0\implies v=0).\pause
\end{equation}
\item Manche Autoren fordern in der Definition eines Skalarprodukts auf einem $\C$-Vektor\-raum die Linearität im ersten und die Semilinearität im zweiten Argument.
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bsp}\label{spex}
\begin{overprint}
\onslide<1-2>
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\K^n\times\K^n\to\K,\ (x,y)\mapsto\langle x,y\rangle$ definiert durch
\[\langle x,y\rangle:=\sum_{i=1}^nx_i^*y_i=x^*y\qquad\text{für }x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\in\K^n\]
ist ein Skalarprodukt auf $\K^n$, das \s{Standardskalarprodukt} auf $\K^n$, wobei (6) folgt aus
$\langle x,x\rangle=\sum_{i=1}^n|x_i|^2$ für alle $x\in\K^n$ [$\to$4.2.8].
\visible<2>{
\item $\R^2\times\R^2\to\R,\ (x,y)\mapsto\langle x,y\rangle$ definiert durch
\[\left\langle\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\right\rangle:=x_1y_1+5x_1y_2+5x_2y_1+26x_2y_2\quad\text{für }x_1,x_2,y_1,y_2\in\R\]
ist ein Skalarprodukt auf $\R^2$, denn\\
$x_1^2+10x_1x_2+26x_2^2=(x_1+5x_2)^2+x_2^2>0$ für $(\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\end{smallmatrix})\in\R^2\setminus\{0\}$.
}
\end{enumerate}
\onslide<3>
\begin{enumerate}[(a)]
\item[(c)] Es ist $C([0,1],\K):=\{f\mid f\colon[0,1]\to\K\ \text{stetig}\}$ ein Unterraum des $\K$-VRs $\K^{[0,1]}$ [$\to$7.1.5] und
\[C([0,1],\K)\times C([0,1],\K)\to\K,\ (f,g)\mapsto\langle f,g\rangle:=\int_0^1f(x)^*g(x)dx\]
ein Skalarprodukt auf $C([0,1],\K)$, denn\\
\[\langle f,f\rangle=\int_0^1f(x)^*f(x)dx=\int_0^1|f(x)|^2dx>0,\] falls $f\in C([0,1],\K)\setminus\{0\}$.
\end{enumerate}
\end{overprint}
\end{bsp}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{df}
Sei $V$ ein $\K$-VR. Eine \s{Norm} auf $V$ ist eine Abbildung $V\to\R,\ v\mapsto\|v\|$ derart, dass für alle $v,w\in V$ und $\la\in\K$ gilt
\begin{eqnarray*}
\|v+w\|&\le&\|v\|+\|w\|\qquad\text{"`Dreiecksungleichung"'}\\
\|\la v\|&=&|\la|\|v\|\quad\qquad\text{"`absolute Homogenität"'}\\
v\ne0&\implies&\|v\|>0\quad\text{[beachte auch $\|0\|=\|0_\K0\|=|0_\K|\|0\|=0_\K$]}\pause
\end{eqnarray*}
\end{df}

\begin{df}
Einen ($\K$-)VR zusammen mit einem Skalarprodukt oder einer Norm auf $V$ nennt man einen \s{{\rm($\K$-)}VR mit Skalarprodukt} beziehungsweise einen
\s{normierten {\rm($\K$-)}VR}.
\end{df}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bem}
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Einen $\K$-VR mit Skalarprodukt nennt man einen \s{$\K$-Prä\-hilbert\-raum}, im Fall $\K=\R$ auch einen \s{euklidischen Raum} und im Fall $\K=\C$ auch einen
\s{unitären Raum}. Altmodische Autoren sprechen jedoch sowohl im reellen als auch im komplexen Fall von einem unitären Raum, während neumodische Autoren in beiden
Fällen von einem euklidischen Raum sprechen.\pause
\item Formal sind Vektorräume mit Skalarprodukt und normierte Räume bei uns $7$-Tupel, da Vektorräume $6$-Tupel sind [$\to$6.1.1]. So wie wir in einer abelschen Gruppe die
Addition fast immer mit $+$ notieren [$\to$2.1.2(d)], schreiben wir das Skalarprodukt in einem VR mit Skalarprodukt fast immer mit $\langle.,.\rangle$ und die Norm
in einem normierten VR fast immer mit $\|.\|$.
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{lem}
Seien $V$ ein VR mit Skalarprodukt und $v,w\in V$. Dann \[\langle v+w,v+w\rangle=\langle v,v\rangle+2\rp(\langle v,w\rangle)+\langle w,w\rangle.\]
\end{lem}

\begin{proof}
$\langle v+w,v+w\rangle=\langle v,v+w\rangle+\langle w,v+w\rangle=\langle v,v\rangle+\langle v,w\rangle+\langle w,v\rangle+\langle w,w\rangle
=\langle v,v\rangle+\langle v,w\rangle+\langle v,w\rangle^*+\langle w,w\rangle=\langle v,v\rangle+2\rp(\langle v,w\rangle)+\langle w,w\rangle$ [$\to$4.2.8]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sat}[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]
Seien $V$ ein VR mit Skalarprodukt und $v,w\in V$. Dann gilt \s{$|\langle v,w\rangle|^2\le\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle$}\pause\ mit \a{Gleichheit} genau dann,
wenn \a{$v$ und $w$ linear abhängig} sind.\pause
\end{sat}

\begin{proof}
Bezeichne $\K$ den Grundkörper von $V$ und setze $S:=\{\ze\in\K\mid|\ze|=1\}$.\pause\ Dann gilt für $x\in\R$ und $\ze\in S$ nach dem Lemma
\[0\le\langle v+x\ze w,v+x\ze w\rangle=\langle v,v\rangle+2x\rp(\ze\langle v,w\rangle)+x^2\langle w,w\rangle.\]\pause
Wähle $\ze \in S$ mit $\rp(\ze \langle v,w\rangle)=|\langle v,w\rangle|$\pause\ (nehme $\ze :=\frac{\langle v,w\rangle^*}{|\langle v,w\rangle|}\in S$ falls
$\langle v,w\rangle\ne0$).\pause\ Dann gilt für alle $x\in\R$
\[0\le\langle v+x\ze w,v+x\ze w\rangle=\langle v,v\rangle+2x|\langle v,w\rangle|+x^2\langle w,w\rangle.\pause\]
Ist $\langle w,w\rangle=0$, so gilt also $\langle v,w\rangle=0$ und $w=0$ ist linear abhängig.\pause\ \a{Sei also $\langle w,w\rangle>0$}\dots
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sat}
Sei $V$ ein VR mit Skalarprodukt. Dann ist \[V\to\R,\ v\mapsto\|v\|:=\sqrt{\langle v,v\rangle}\] eine Norm auf $V$. Jeder VR mit Skalarprodukt ist
also auf diese Weise ein normierter Raum.\pause
\end{sat}

\begin{proof} Es ist alles klar bis auf die Dreiecksungleichung: Für alle $v,w\in V$ gilt
\begin{eqnarray*}
\|v+w\|^2&=&\langle v+w,v+w\rangle\\
&=&\langle v,v\rangle+2\rp(\langle v,w\rangle)+\langle w,w\rangle\\
&\overset{4.2.8}\le&\langle v,v\rangle+2|\langle v,w\rangle|+\langle w,w\rangle\\
&\le&\langle v,v\rangle+2\|v\|\|w\|+\langle w,w\rangle\\
&=&(\|v\|+\|w\|)^2.
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sat}[Polarisationsformel]\label{pol}
Sei $V$ ein $\K$-VR mit Skalarprodukt. Dann gilt für alle $v,w\in V$:
\begin{eqnarray*}
4\langle v,w\rangle&=&\|v+w\|^2-\|v-w\|^2\text{ falls $\K=\R$ und}\\
4\langle v,w\rangle&=&\|v+w\|^2-\|v-w\|^2-\i\|v+\i w\|^2+\i\|v-\i w\|^2\text{ falls $\K=\C$.}\pause
\end{eqnarray*}
\end{sat}

\begin{proof}
Es gilt $\langle v+w,v+w\rangle-\langle v-w,v-w\rangle=2(\langle v,w\rangle+\langle w,v\rangle)$ für alle $v,w\in V$. Im Fall $\K=\R$, folgt hieraus schon die Behauptung.\pause\
Im Fall $\K=\C$ folgt hieraus
$-\i(\langle v+\i w,v+\i w\rangle-\langle v-\i w,v-\i w\rangle)=-2\i(\langle v,\i w\rangle+\langle\i w,v\rangle)=2(\langle v,w\rangle-\langle w,v\rangle)$ für alle $v,w\in V$ und man
braucht dies nur zur obigen Gleichung addieren.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{defprop}\label{angle}
Seien $V$ ein $\R$-VR mit Skalarprodukt und $v,w\in V\setminus\{0\}$. Dann existiert eine eindeutig bestimmte Zahl  $\al\in\R$ mit $0\le\al\le\pi$ und
\[\cos\al=\frac{\langle v,w\rangle}{\|v\|\|w\|}.\]
Diese Zahl nennt man den \s{Winkel} $\measuredangle(v,w)$ zwischen $v$ und $w$.\pause
\end{defprop}

\begin{proof}
Aus der Analysis weiß man, dass $[0,\pi]\to[-1,1],\ \al\mapsto\cos(\al)$ bijektiv ist. Aus der Injektivität dieser Funktion folgt die Eindeutigkeit von $\al$. Aus der Surjektivität folgt die Existenz von $\al$, denn nach Cauchy-Schwarz
gilt
\[-1\le\frac{\langle v,w\rangle}{\|v\|\|w\|}\le1.\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bem}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Die durch das Standardskalarprodukt auf dem $\R^2$ induzierte Norm $\R^2\to\R,\ (\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix})\mapsto\sqrt{a^2+b^2}$
gibt gerade die anschauliche Länge eines Vektors im $\R^2$ wieder, wie man leicht sieht, indem man in folgender Zeichnung den Flächeninhalt des großen Quadrats auf
zwei verschiedene Weisen berechnet:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline=3em,scale=0.65, execute at begin node=$, execute at end node=$]
\filldraw [color=blue!50](0,0) -- (2,0) -- (0,3) -- cycle;
\filldraw [color=blue!50](0,3) -- (0,5) -- (3,5) -- cycle;
\filldraw [color=blue!50](3,5) -- (5,5) -- (5,2) -- cycle;
\filldraw [color=blue!50](5,2) -- (5,0) -- (2,0) -- cycle;
\draw [fill=red!50] (2,0) -- (3.5,1) node[above]{c} -- (5,2) -- (4,3.5)node[left]{c} -- (3,5) -- (1.5,4)node[below]{c} -- (0,3) -- (1,1.5)node[right]{c} -- cycle;
\draw (0,0) -- (1,0)node[below]{b} -- (3.5,0)node[below]{a} -- (5,0) -- (5,1)node[right]{b} -- (5,3.5)node[right]{a} -- (5,5) -- (4,5)node[above]{b} -- (1.5,5)node[above]{a} -- (0,5) -- (0,4)node[left]{b} -- (0,1.5)node[left]{a} -- (0,0);
\draw (10,3)node {(a+b)^2=\textcolor{red}{c^2}+4\textcolor{blue}{\frac{ab}2}};
\draw (10,2)node {a^2+b^2=c^2};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bem}
\begin{enumerate}[(a)]
\item[(b)] Unsere Definition von Winkeln stimmt überein mit dem anschaulichen Winkelbegriff im $\R^2$.\pause\ Wie in (a) argumentieren wir wieder anschaulich: Wegen (a) verändert die Drehung $R_\ph$ ($\ph\in\R$) die Norm eines Vektors nicht, woraus mit der Polarisationsformel folgt, dass
$R_\ph$ auch das Skalarprodukt und damit Winkel im Sinne von unserer Definition nicht verändert.\pause\ Es reicht also $\measuredangle(v,w)$ für den Fall zu betrachten, dass \a{$v$ auf der Halbachse $\R_{>0}\times\{0\}$} und \s{$w\ne0$
in der oberen Halbebene $\R\times\R_{\ge0}$} liegt (sonst drehe geeignet).\pause\ Weiter kann man $\|v\|=\|w\|=1$ annehmen, also
$v=(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix})$ und $w=(\begin{smallmatrix}\cos\be\\\sin\be\end{smallmatrix})$ mit $\be\in[0,\pi]$.\pause\ Dann gilt für $\al:=\measuredangle(v,w)$,
dass $\cos\al=\langle(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}),(\begin{smallmatrix}\cos\be\\\sin\be\end{smallmatrix})\rangle=\cos\be$.\pause\ Also gilt $\al=\be$, das heißt $\al$ ist der anschauliche Winkel zwischen $v$ und $w$.
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{bem}
\begin{enumerate}[(a)]
\item[(c)] Die durch das Standardskalarprodukt auf dem $\R^3$ induzierte Norm $\R^3\to\R,\ \left(\begin{smallmatrix}a\\b\\c\end{smallmatrix}\right)\mapsto\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
gibt gerade die anschauliche Länge eines Vektors im $\R^2$ wieder,\pause\ denn nach Pythagoras aus Teil (a) ist die Länge von $\left(\begin{smallmatrix}a\\b\\0\end{smallmatrix}\right)$ gleich $\sqrt{a^2+b^2}$ und wieder nach Pythagoras ist die Länge von $\left(\begin{smallmatrix}a\\b\\c\end{smallmatrix}\right)$ daher $\sqrt{(\sqrt{a^2+b^2})^2+c^2}=
\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ (male ein Bild!).
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{bem}
\begin{enumerate}[(a)]
\item[(d)] Durch Drehung im $\R^3$ sieht man nun wie in (b), dass auch im $\R^3$ der von uns eingeführte Winkelbegriff mit dem üblichen übereinstimmt.
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bem}
\begin{enumerate}[(a)]
\item[(e)] Sind $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n\in\R$, so gilt im $\C^n$
\begin{align*}
\left\|\begin{pmatrix}a_1+\i b_1\\\vdots\\a_n+\i b_n\end{pmatrix}\right\|&=\sqrt{(a_1-\i b_1)(a_1+\i b_1)+\dots+(a_n-\i b_n)(a_n+\i b_n)}\\
&=\sqrt{a_1^2+b_1^2+\dots+a_n^2+b_n^2}.
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}

\end{document}