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\begin{document}
\title{§10.2 Begleitmatrix, Satz von Cayley-Hamilton\\und Minimalpolynom}
\date{[Arthur Cayley *1821 \dag 1895;\\William Rowan Hamilton *1805, \dag 1865]}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prospr}[Polynomdivision mit Rest]\label{poldiv}
Seien $f,g\in K[X]$ mit $g\ne0$. Dann gibt es genau ein Paar $(q,r)\in K[X]^2$ mit $\deg r<\deg g$ und $f=gq+r$.\pause\
Man nennt $q$ den \s{Quotienten} und $r$ den \s{Rest} bei Division von $f$ durch $g$.\pause
\end{prospr}

\begin{proof}
Um die Eindeutigkeit zu beweisen, seien $(q_i,r_i)\in K[X]^2$ mit $\deg r_i<\deg g$ und $f=gq_i+r_i$ für $i\in\{1,2\}$.\pause\ Dann gilt $r_1-r_2=g(q_2-q_1)\in(g)$ und wegen
$\deg(r_1-r_2)<\deg g$ daher $r_1-r_2=0$.\pause\ Also $r_1=r_2$.\pause\ Folglich $g(q_1-q_2)=0$ und schließlich $q_1=q_2$.\pause

Die Existenz beweisen wir durch Induktion nach dem Grad von $f$:

Induktionsanfang: Ist $\deg f<\deg g$, so setzen wir $(q,r):=(0,f)$.\pause

Induktionsschritt: Sei $\deg f\ge\deg g$ und die Behauptung schon bewiesen, wenn $f$ durch ein Polynom von kleinerem Grad ersetzt wird.\pause\
Wähle $a\in K^\times$ und $k\in\N_0$
derart, dass $f$ und $aX^kg$ denselben Grad und denselben Leitkoeffizienten haben.\pause\
Dann hat $f_0:=f-aX^kg$ einen kleineren Grad als $f$ und es gibt nach 
Induktionsvoraussetzung $(q_0,r)\in K[X]^2$ mit $\deg r<\deg g$ und $f_0=gq_0+r$.\pause\
Es folgt $f=f_0+aX^kg=g(q_0+aX^k)+r=gq+r$ für $q:=q_0+aX^k$.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sat}\label{princ}
Im Polynomring $K[X]$ ist jedes Ideal ein Hauptideal.\pause
\end{sat}

\begin{proof}
Sei $I$ ein Ideal von $K[X]$. Ist $I=\{0\}$, so ist $I=(0)$. Also bleibt nur der Fall zu betrachten, dass es ein $g\in K[X]\setminus\{0\}$ gibt mit $g\in I$.\pause\
Wir wählen ein solches $g$
von kleinstmöglichem Grad und behaupten $I=(g)$.\pause\ Die Inklusion $I\supseteq(g)$ ist klar.\pause\ Um $I\subseteq(g)$ zu beweisen, sei $f\in I$. Zu zeigen ist $f\in(g)$.\pause\ Wähle
$q,r\in K[X]$ mit $\deg r<\deg g$ und $f=gq+r$.\pause\ Dann gilt $r=f-gq\in I$ und nach Wahl von $g$ muss $r=0$ gelten. Dann aber $f=gq\in(g)$.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{df}
Ein Polynom $p\in K[X]$ heißt \s{normiert}, wenn $p\ne0$ und der Leitkoeffizient von $p$ gleich $1$ ist.\pause
\end{df}

\begin{kor}\label{unique}
Sei $I$ ein Ideal von $K[X]$ mit $I\ne\{0\}$. Dann gibt es genau ein normiertes $p\in K[X]$ mit $I=(p)$.\pause
\end{kor}

\begin{proof}
Die Existenz ist klar.\pause\ Zur Eindeutigkeit: Seien $p,q\in K[X]$ normiert mit $(p)=I=(q)$.\pause\ Dann $\deg p\ge\deg(q)$ wegen $p\in(q)$ und\pause\
$\deg q\ge\deg(p)$ wegen $q\in(p)$,\pause\ also $\deg p=\deg q$.\pause\ Weiter gilt $p-q\in(p)$ und daher $p-q=0$ oder $\deg(p-q)\ge\deg p$.\pause\
Letzteres ist unmöglich, also gilt $p=q$.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{pro}\label{basis}
Sei $p\in K[X]$ ein Polynom vom Grad $n\in\N_0$. Dann ist das Ideal $(p)$ des kommutativen Ringes $K[X]$ ein UR des VRs $K[X]$ und
$(\overline1,\overline X,\dots,\overline{X^{n-1}})$ eine Basis des QuotVRs $K[X]/(p)$.\pause
\end{pro}

\begin{proof}
Zu zeigen:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\overline1,\overline X,\dots,\overline{X^{n-1}}$ sind linear unabhängig in $K[X]/(p)$.
\item $\overline1,\overline X,\dots,\overline{X^{n-1}}$ erzeugen $K[X]/(p)$.
\end{enumerate}\pause
\textbf{Zu (a).} Seien also $a_0,\dots,a_{n-1}\in K$ mit $\sum_{k=0}^{n-1}a_k\overline{X^k}=0$. Zu zeigen ist $a_0=\ldots=a_{n-1}=0$. Schreibt man
$h:=\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k\in K[X]$, so ist $h=0$ zu zeigen. Nun gilt $\overline h=\sum_{k=0}^{n-1}a_k\overline{X^k}=0$
und daher $h\in(p)$.
Wegen $\deg h<n=\deg p$ folgt $h=0$.\pause
 
\medskip\noindent
\textbf{Zu (b).} Sei $f\in K[X]$. Zu zeigen ist, dass es ein $r\in K[X]$ mit $\deg r<n$ und $\overline f=\overline r$ in $K[X]/(p)$ gibt. Man findet
$(q,r)\in K[X]^2$ mit $\deg r<\deg g$ und $f=pq+r$. Dann $f-r\in(p)$ und daher $\overline f=\overline r$ in $K[X]/(p)$ wie gewünscht.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{propdef}\label{companion}
Sei $p=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\in K[X]$ mit $a_0,\dots,a_{n-1}\in K$ ein normiertes Polynom. Dann ist
\[f\colon K[X]/(p)\to K[X]/(p),\ \overline q\mapsto\overline{Xq}\quad(q\in K[X])\]
wohldefiniert und linear.\pause\ Die Darstellungsmatrix $C_p:=M(f,\v)$ von $f$ bezüglich der Basis $\v:=(\overline1,\overline X,\dots,\overline{X^{n-1}})$ von $K[X]/(p)$
nennen wir die \s{Begleitmatrix} von $p$.\pause\ Es gilt
\[C_p=
\begin{tikzpicture}[loosely dotted,thick,baseline]
\matrix (m) [matrix of math nodes,nodes in empty cells,right delimiter=),left delimiter=(,column sep=1em,ampersand replacement=\&]{
0\&0\&\&\&\&0\&-a_0\\
1\&0\&\&\&\&  \&-a_1\\
0\&1\&\&\&\&  \&-a_2\\
0\&0\\
\\
 \&   \&\&\&\&0\\
0\&0\&\&\&0\&1\&-a_{n-1}\\
} ;
\draw (m-1-2)-- (m-1-6);
\draw (m-2-2)-- (m-6-6);
\draw (m-3-2)-- (m-7-6);
\draw (m-4-2)-- (m-7-5);
\draw (m-1-6)-- (m-6-6);
\draw (m-3-7)-- (m-7-7);
\draw (m-4-1)-- (m-7-1);
\draw (m-4-2)-- (m-7-2) -- (m-7-5);
\end{tikzpicture}.
\]
\end{propdef}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sat}\label{compdet}
Sei $p\in K[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Dann ist $p$ bis auf das Vorzeichen
das charakteristische Polynom seiner eigenen Begleitmatrix, das heißt \[p=(-1)^n\ch_{\scriptscriptstyle C_p}.\]
\end{sat}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{df}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ist $f$ eine Selbstabbildung der Menge $M$, so definiert man \[f^k:=\underbrace{f\circ\dots\circ f}_{\text{$k$-mal}}\in M^M\] für jedes $k\in\N_0$, wobei
$f^0:=\id_M$. Insbesondere ist $f^k\in\End(V)$ für jeden VR $V$ und jedes $f\in\End(V)$ erklärt.\pause
\item Ist $n\in\N_0$ und $A\in K^{n\times n}$, so definiert man \[A^k:=\underbrace{A\dotsm A}_{\text{$k$-mal}}\in K^{n\times n},\]
wobei $A^0:=I_n$.\pause
\end{enumerate}
\end{df}

\begin{bsp}
Ist $\ph\in\R$ und $k\in\N_0$, so gilt für die Drehung $R_\ph\in\End(\R^2)$
\[(R_\ph)^k=R_{k\ph}.\]
\end{bsp}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{er}
Sei $V$ ein $K$-VR. Dann ist $\End(V):=\Hom(V,V)$ ein $K$-VR und für alle $f,g,h\in\End(V)$ und $\la\in K$ gilt
\begin{align*}
f\circ(g+h)&=f\circ g+f\circ h,\\
(f+g)\circ h&=f\circ h+g\circ h\quad\text{ und}\\
(\la f)\circ g&=\la(f\circ g)=f\circ(\la g).
\end{align*}
\end{er}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{defprop}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Sei $V$ ein $K$-VR und $f\in\End(V)$. Dann ist
\[K[f]:=\left\{\sum_{k=0}^na_kf^k\mid n\in\N_0,a_0,\dots,a_n\in K\right\}\]
zusammen mit der punktweisen Addition und der Hintereinanderschaltung als Multiplikation ein kommutativer Ring.\pause
\item Sei $n\in\N_0$ und $A\in K^{n\times n}$. Dann ist
\[K[A]:=\left\{\sum_{k=0}^na_kA^k\mid n\in\N_0,a_0,\dots,a_n\in K\right\}\]
zusammen mit der Addition und Multiplikation von Matrizen ein kommutativer Ring.
\end{enumerate}
\end{defprop}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{satdef}\label{kf}
\begin{enumerate}[\rm(a)]
\only<1-2>{
\item Sei $V$ ein $K$-VR und $f\in\End(V)$. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus $\ps\colon K[X]\to K[f]$ mit
\[\ps\left(\sum_{k=0}^na_kX^k\right)=\sum_{k=0}^na_kf^k\] für alle $n\in\N_0$ und $a_0,\dots,a_n\in K$. Ist $p\in K[X]$, so schreibt man auch $p(f)$ statt $\ps(p)$ ("`$p$ ausgewertet in $f$"'). Dass $\ps$ ein Ringhomomorphismus ist, heißt dann $(p+q)(f)=p(f)+q(f)$, $1(f)=\id_V$ und $(pq)(f)=p(f)\circ q(f)$ für alle $p,q\in K[X]$.
}
\only<3>{
\item[(b)] Sei $n\in\N_0$ und $A\in K^{n\times n}$. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus $\ps\colon K[X]\to K[A]$ mit
\[\ps\left(\sum_{k=0}^na_kX^k\right)=\sum_{k=0}^na_kA^k\] für alle $n\in\N_0$ und $a_0,\dots,a_n\in K$.
Ist $p\in K[X]$, so schreibt man auch $p(A)$ statt $\ps(p)$ ("`$p$ ausgewertet in $A$"').
Dass $\ps$ ein Ringhomomorphismus ist, heißt dann $(p+q)(A)=p(A)+q(A)$, $1(A)=I_n$ und $(pq)(A)=(p(A))(q(A))$ für alle $p,q\in K[X]$.
}
\end{enumerate}
\end{satdef}

\visible<2>{
\begin{proof}
\textbf{(a)} Überprüfe zunächst, dass $\ph\colon K\to K[f],\ a\mapsto a\id_V$ ein Ringhomomorphismus ist. Dann erhält man
$\ps\colon K[X]\to K[f]$ mit
\[\ps\left(\sum_{k=0}^na_kX^k\right)=\sum_{k=0}^n\ph(a_k)f^k=\sum_{k=0}^n\underbrace{(a_k\id_V)\circ f^k}_{=a_k(\id_V\circ f^k)=a_kf^k}.\]
\end{proof}
}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sat}[Cayley-Hamilton]\label{ch}
\begin{enumerate}[\rm(a)]
\item Für jeden Endomorphismus $f$ eines endlichdimensionalen VRs gilt $\ch_f(f)=0$.
\item Für jede quadratische Matrix $A$ über einem Körper gilt $\ch_A(A)=0$.\pause
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof}
\textbf{(a)} Sei $V$ ein endlichdimensionaler VR, $f\in\End(V)$ und $v\in V$. Zu zeigen ist $(\ch_f(f))(v)=0$.\pause\ Wir wählen das kleinste $m\in\N_0$ derart, dass $v,f(v),\dots,f^m(v)$ linear abhängig sind. Dann gibt es $a_0,\dots,a_{m-1}\in K$ mit
\b{$f^m(v)+a_{m-1}f^{m-1}(v)+\dots+a_1f(v)+a_0v=0$}.\pause\ Da $v,f(v),\dots,f^{m-1}(v)$ linear unabhängig sind, findet man eine Basis
\s{$\v=(\b{v,f(v),\dots,f^{m-1}(v)},v_m,\dots,v_n)$}
von $V$.\pause\ Setzt man nun $p:=X^m+a_{m-1}X^{m-1}+\dots+a_1X+a_0$, so ist
\[M(f,\v)=
\left(
\begin{array}{c|c}
C_p&*\\
\hline
0&A
\end{array}
\right)
\]
für ein $A\in K^{(n-m)\times(n-m)}$\dots
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bem} 
\begin{enumerate}[(a)]
\item Im Beweis von Cayley-Hamilton haben wir Teil (b) sofort aus Teil (a) gewonnen. Geht man umgekehrt von Teil (b) aus, so gewinnt man daraus sofort Teil (a).\pause
\item Was ist mit folgendem "`Beweis"'? \a{Ist $n\in\N_0$ und $A\in K^{n\times n}$, so setzen wir in die Gleichung $\ch_A=\det(A-XI_n)$
für $X$ die Matrix $A$ ein und erhalten $\ch_A(A)=\det(A-AI_n)=\det(A-A)=\det(0)=0$}
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{df}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $f\in\End(V)$. Dann heißt der Kern \a{$I_f:=\ker\ps$} des Ringhomomorphismus \s{$\ps\colon K[X]\to K[f],\ p\mapsto p(f)$}
das Ideal der \s{algebraischen Identitäten} von $f$.\pause
\item Sei $n\in\N_0$ und $A\in K^{n\times n}$. Dann heißt der Kern \a{$I_A:=\ker\ps$} des Ringhomomorphismus \s{$\ps\colon K[X]\to K[A],\ p\mapsto p(A)$} das Ideal der
\s{algebraischen Identitäten} von $A$.\pause
\end{enumerate}
\end{df}

\begin{bem}
Der Satz von Cayley-Hamilton besagt:
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ist $f$ ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums, so gilt \a{$\ch_f\in I_f$} und daher insbesondere \s{$I_f\ne\{0\}$}.\pause
\item Ist $A\in K^{n\times n}$, so gilt \a{$\ch_A\in I_A$} und daher insbesondere \s{$I_A\ne\{0\}$}.
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{df}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $f\in\End(V)$ mit $I_f\ne\{0\}$. Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom $\mu_f\in K[X]$ mit \s{$I_f=(\a{\mu_f})$} das
\s{Minimalpolynom} von $f$.\pause
\item Sei $n\in\N_0$ und $A\in K^{n\times n}$. Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom $\mu_A\in K[X]$ mit \s{$I_A=(\a{\mu_A})$} das
\s{Minimalpolynom} von $A$.\pause
\end{enumerate}
\end{df}

\begin{bem}
\begin{enumerate}[\rm(a)]
\item Sei $V$ ein Vektorraum mit $n:=\dim V<\infty$ und $f\in\End(V)$. Dann gibt es $r\in K[X]$ mit \s{$\ch_f=\mu_f\a r$}. Insbesondere gilt
$\deg(\mu_f)\le n$.\pause
\item Sei $n\in\N_0$ und $A\in K^{n\times n}$. Dann gibt es $r\in K[X]$ mit \s{$\ch_A=\mu_A\a r$}. Insbesondere gilt $\deg(\mu_A)\le n$.
\end{enumerate}
\end{bem}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{bsp}
In den folgenden Beispielen benutzen wir, dass für einen Endomorphismus $f$ eines zweidimensionalen $K$-VRs $V$ offensichtlich gilt:
\[\ch_f\ne\mu_f\iff\exists\la\in K:f=\la\id_V.\]
\begin{overprint}
\onslide<2-3>
\begin{enumerate}[(a)]
\item Sei $\ph\in\R$. Dann gilt
\begin{eqnarray*}
\ch_{R_\ph}&=&X^2-2(\cos\ph)X+1\qquad\text{und}\\
\mu_{R_\ph}&=&\begin{cases}\ch_{R_\ph}&\text{falls $\ph\not\in\{n\pi\mid n\in\Z\}$}\\
X-1&\text{falls $\ph=n\pi$ für ein gerades $n\in\Z$}\\
X+1&\text{falls $\ph=n\pi$ für ein ungerades $n\in\Z$}
\end{cases}.
\end{eqnarray*}
\visible<3>{
Nach Cayley-Hamilton gilt
\begin{eqnarray*}
(R_\ph)^2-2(\cos\ph)R_\ph+\id_{\R^2}&=&0,\quad\text{also}\\
R_{2\ph}(v)-2(\cos\ph)R_\ph(v)+v&=&0\quad\text{für alle $v\in\R^2$}.
\end{eqnarray*}
}
\end{enumerate}
\onslide<4-7>
\begin{enumerate}[(a)]
\item[(b)] Es gilt $\mu_S=\ch_S=(X-1)(X+1)=X^2-1$ und Cayley-Hamilton besagt $S^2=\id_{\R^2}$ ("`zweimal spiegeln ist keinmal spiegeln"').
\only<5-7>{
\item[(c)] Es gilt $\mu_P=\ch_P=X(X-1)=X^2-X$ und Cayley-Hamilton besagt $P^2=P$ ("`zweimal projizieren ist einmal projizieren"').
}
\visible<6-7>{
\item[(d)] Sei $a\in\R$. Dann gilt
\begin{eqnarray*}
\ch_{T_a}&=&(X-1)^2=X^2-2X+1\qquad\text{und}\\
\mu_{T_a}&=&\begin{cases}\ch_{T_a}&\text{falls $a\ne0$}
\\X-1&\text{falls $a=0$}
\end{cases}.
\end{eqnarray*}
}
\visible<7>
{
Cayley-Hamilton sagt hier $T_a^2=2T_a-\id_{\R^2}$ ("`zweimal scheren ist scheren, verdoppeln und Ausgangsvektor abziehen"').
}
\end{enumerate}
\onslide<8-11>
\begin{enumerate}[(a)]
\item[(e)] Ist $A\in K^{n\times n}$, so ist $\ch_{f_A}=\ch_A$ und $\mu_{f_A}=\mu_A$.
\visible<9-11>{
\item[(f)] Sei $d\in\N_0$. Wegen $\ch_{D^{(d)}}=(-X)^{d+1}$ besagt Cayley-Hamilton hier, dass $D^{d+1}(p)=(D^{(d)})^{d+1}(p)=0$ für alle $p\in K[X]_d$, das heißt ein
Polynom vom Grad $\le d$ wird nach $(d+1)$-maligem Ableiten das Nullpolynom.
}
\visible<10-11>
{
\item[(g)] $E_{a_1,\dots,a_n}$ ist kein Endomorphismus!
}
\visible<11>{
\item[(h)] Es gilt $\mu_C=\ch_C=X^2-1$ und Cayley-Hamilton besagt $C^2=\id_\C$ ("`zweimal komplex konjugieren ist keinmal komplex konjugieren"').
}
\end{enumerate}
\end{overprint}
\end{bsp}
\end{frame}

\end{document}