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\begin{document}
\subject{Vorlesungsskript}
\title{Kommutative Algebra}
\subtitle{Kapitel 4 und 5}
\author{Markus Schweighofer
\thanks{Als Vorlage dienten Vorlesungsnotizen von Prof. Dr. Markus Brodmann von der ETH Zürich
[\url{https://www.math.uzh.ch/fileadmin/user/brodmann/publikation/Ka.Skript.5.Mai.09.pdf}]}
}
\date{Sommersemester 2016}
\publishers{Universität Konstanz}
\maketitle

\setcounter{chapter}{3}
\chapter{Höhe und Tiefe}

In diesem Kapitel seien wieder alle Ringe kommutativ.

\section{Die Höhe eines Moduls bezüglich eines Ideals}

\begin{df}\label{hdef}
Sei $R$ ein Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ist $M$ ein $R$-Modul, so ist die \emph{Höhe von $M$ bezüglich $I$} (oder $I$-Höhe von $M$) gegeben durch
\begin{align*}
\height_IM:=\inf\{\height\p\mid&~\p\text{ (minimales [$\to$1.3.5]) Primoberideal von $(I+\ann M)/\ann M$}\\
&\overset{1.1.14}=\text{$I(R/\ann M)$ in $R/\ann M$}\}\in\N_0\cup\{\infty\}\text{ [$\to$2.1.3]}.
\end{align*}
\item Die \emph{Höhe von $I$} wird definiert als die Höhe des $R$-Moduls $R$ bezüglich $I$, also
\[\height I:=\inf\{\height\p\mid\p\text{ (minimales [$\to$1.3.5]) Primoberideal von $I$ in $R$}\}\in\N_0\cup\{\infty\}\]
(beachte $\ann_RR=0$), was im Fall $I\in\spec R$ mit Definition 2.1.3 konsistent ist.
\end{enumerate}
\end{df}

\begin{bem}\label{hbem}
Sei $R$ ein Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein $R$-Modul.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\height_IM=\height((I+\ann M)/\ann M)$
\item Ist $J\subseteq R$ ein weiteres Ideal und gilt $JM=0$, so $\height_IM=\height_{(I+J)/J}M$, wobei rechts $M$ als
$R/J$-Modul aufgefasst wird, denn der Annihilator von $M$ als $R/J$-Modul ist $(\ann M)/J$ (beachte $J\subseteq\ann M$)
und der kanonische Isomorphismus $(R/J)/((\ann M)/J)\to R/\ann M$ bildet
\[\underbrace{(((I+J)/J)+((\ann M)/J))}_{=(I+\ann M)/J}/((\ann M)/J)\]
auf $(I+\ann M)/\ann M$ ab.
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{sat}\label{nmm}
Sei $R$ ein Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann $\sqrt{\ann(M/IM)}=\sqrt{I+\ann M}$.
\end{sat}

\begin{proof}
"`$\supseteq$"' klar, da $\ann(M/IM)\supseteq I+\ann M$

\smallskip\noindent
"`$\subseteq$"'  Zu zeigen: $\ann(M/IM)\subseteq\sqrt{I+\ann M}$. Sei $a\in\ann(M/IM)$. Dann gilt für den Endomorphismus
$f\colon M\to M,\ x\mapsto ax$, dass $\im f\subseteq IM$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton 1.1.16 gibt es also $n\in\N$ und $a_i\in I$
mit $f^n+a_1f^{n-1}+\ldots+a_n\id_M=0$, das heißt $a^n+a_1a^{n-1}+\ldots+a_n\in\ann M$. Es folgt $a^n\in I+\ann M$, also
$a\in\sqrt{I+\ann M}$.
\end{proof}

\begin{sat}\label{hinfinity}
Sei $R$ ein noetherscher Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann
$\height_IM=\infty\iff IM=M$.
\end{sat}

\begin{proof}
\begin{align*}
\height_IM=\infty&\overset{2.4.5}\iff I+\ann M=R\iff 1\in I+\ann M\iff 1\in\sqrt{I+\ann M}\\
&\iff\sqrt{I+\ann M}=R\overset{\ref{nmm}}\iff\sqrt{\ann(M/IM)}=R\\
&\iff 1\in\sqrt{\ann(M/IM)}\iff 1\in\ann(M/IM)\iff M\subseteq IM\\
&\iff IM=M.
\end{align*}
\end{proof}

\begin{sat}\mbox{}\emph{[$\to$2.4.6]}\label{minus1}
Sei $R$ ein noetherscher Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal, $a\in I$ und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann gilt \[\height_IM-1\le\height_I(M/aM)\le\height_IM\qquad\text{(wobei $\infty-1:=\infty$)}.\]
Liegt zudem $a$ in keinem der minimalen Primoberideale von $\ann M$ (welche nach 2.2.19 genau die endlich vielen minimalen zu $M$
assoziierten Primideale sind), so gilt genauer
\[\height_I(M/aM)=\height_IM-1\qquad\text{(wobei wieder $\infty-1:=\infty$)}.\]
\end{sat}

\begin{proof}
Nach \ref{nmm} gilt $\sqrt{\ann(M/aM)}=\sqrt{(a)+\ann M}$. Daher gilt für alle $\p\in\spec R$, dass
\begin{align*}\tag{$*$}
\ann(M/aM)\subseteq\p&\iff\sqrt{\ann(M/aM)}\subseteq\p\iff\sqrt{(a)+\ann M}\subseteq\p\\
&\iff a\in\p\et\ann M\subseteq\p
\end{align*}
und wegen $a\in I$ auch
\begin{equation}
\tag{$**$}\qquad I+\ann(M/aM)\subseteq\p\iff I+\ann M\subseteq\p.
\end{equation}
Aus $(*)$ sieht man mit 1.3.7 und 2.1.3 leicht, dass
\[\height(\p/\ann(M/aM))=\height(\p/((\ann M)+(a)))=
\height((\p/\ann M)/(\overline a))\]
und dann wegen 2.4.6
\begin{equation}
\tag{$***$}\qquad\height(\p/\ann M)-1\le\height(\p/\ann(M/aM))\le\height(\p/\ann M)
\end{equation}
für alle $\p\in\spec R$ mit $a\in\p$ und $\ann M\subseteq\p$, wobei in der ersten Ungleichung Gleichheit herrscht, falls $a$ in keinem der
minimalen Primoberideale von $\ann M$ liegt. Weiter gilt nach Definition \ref{hdef} und 1.3.7
\[\height_IM=\inf\{\height(\p/\ann M)\mid\p\in\spec R,I+\ann M\subseteq\p\}\]
und
\begin{align*}
\height_I(M/aM)&=\inf\{\height(\p/\ann(M/aM))\mid\p\in\spec R,I+\ann(M/aM)\subseteq\p\}\\
&\overset{(**)}=\inf\{\height(\p/\ann(M/aM))\mid\p\in\spec R,I+\ann M\subseteq\p\}.
\end{align*}
Es folgt $\height_IM=\infty\iff\height_I(M/aM)=\infty$ und mit $(***)$ sogar die ganze Behauptung.
\end{proof}

\begin{kor}\label{minus1kor}
Sei $R$ ein noetherscher Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal, $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul und $a\in I$ kein Nullteiler
für $M$ \emph{[$\to$1.2.9]}. Dann gilt $\height_I(M/aM)=\height_IM-1$ (mit $\infty-1:=\infty$).
\end{kor}

\begin{proof} \ref{minus1} und 2.2.5
\end{proof}

\begin{df}\label{nnfdef}
Sei $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul, $r\in\N_0$ und $a_1,\dots,a_r\in R$. Man sagt, dass $a_1,\dots,a_r$ eine
\emph{Nichtnullteilerfolge für $M$} bilden, wenn für kein $i\in\{1,\dots,r\}$ $a_i$ ein Nullteiler [$\to$1.2.9] für
$M/\sum_{j=1}^{i-1}a_jM$ ist. Ist zusätzlich $I\subseteq R$ ein Ideal und $a_1,\dots,a_r\in I$, so sagt man, $a_1,\dots,a_r$ bilden eine
\emph{Nichtnullteilerfolge in $I$ für $M$}.
\end{df}

\begin{bem}\label{nnfbem}
Sei $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul, $r\in\N_0$, $a_1,\dots,a_r\in R$ und $0\le s\le r$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $a_1,\dots,a_r$ bilden eine Nichtnullteilerfolge für $M$ genau dann, wenn $a_1,\dots,a_s$ und $a_{s+1},\dots,a_r$ jeweils eine
solche für $M$ und $M/\sum_{i=1}^sa_iM$ bilden, denn ist $i\in\{s+1,\dots,r\}$, so gilt
\[\left(M/\sum_{j=1}^sa_jM\right)/\sum_{j=s+1}^{i-1}a_j\left(M/\sum_{k=1}^sa_kM\right)\cong M/\sum_{j=1}^{i-1}a_jM,\] denn
$\sum_{j=s+1}^{i-1}a_j\left(M/\sum_{k=1}^sa_kM\right)=\left(\sum_{j=1}^{i-1}a_jM\right)/\sum_{k=1}^sa_kM$.
\item\mbox{}[$\to$4.1.2(b)] Ist $J\subseteq R$ ein weiteres Ideal und gilt $JM=0$, so bilden $a_1,\dots,a_r$ offensichtlich genau dann eine
Nichtnullteilerfolge für den $R$-Modul $M$, wenn $\overline a_1,\dots\overline a_r$ eine solche für den $R/J$-Modul $M$ bilden.
\item Ist $M=0$, so bilden $a_1,\dots,a_r$ stets eine Nichtnullteilerfolge für $M$.
\item Ist $r\ge1$ und $a_1\in R^\times$, so bilden $a_1,\dots,a_r$ wegen (a), (c) und $a_1M=M$ ebenfalls eine Nichtnullteilerfolge für $M$.
\item $1,0$ bilden eine Nichtnullteilerfolge für $M$ nach (d), aber $0,1$ nur falls $M=0$.
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{sat}\label{minusnnt}
Seien $R$ ein noetherscher Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal, $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul, $r\in\N_0$ und $a_1,\dots,a_r$ eine
Nichtnullteilerfolge in $I$ für $M$. Dann gilt
\[\height_I\left(M/\sum_{i=1}^ra_iM\right)=\height_IM-r\qquad(\text{$mit$ $\infty-r:=\infty$}).\]
\end{sat}

\begin{proof}
direkt aus Korollar \ref{minus1kor} und Definition \ref{nnfdef}
\end{proof}

\begin{kor}
Seien $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$ und $a_1,\dots,a_r$ eine Nichtnullteilerfolge in $\m$ für den
$R$-Modul $R$. Dann gilt
\[\dim\left(R/(a_1,\dots,a_r)\right)=(\dim R)-r.\]
\end{kor}

\begin{proof}
\begin{align*}
\dim\left(R/(a_1,\dots,a_r)\right)&\overset{2.1.1}{\underset{2.1.3}=}\height\left(\m/\sum_{i=1}^ra_iR\right)
\overset{\ref{hdef}(b)}=\height_{\m/\sum_{i=1}^ra_iR}\left(R/\sum_{i=1}^ra_iR\right)\\
&\overset{\ref{hbem}(b)}=\height_\m\left(R/\sum_{i=1}^ra_iR\right)\overset{\ref{minusnnt}}=(\height_\m R)-r\\
&\overset{\ref{hdef}(b)}=(\height\m)-r\overset{2.1.1}{\underset{2.1.3}=}(\dim R)-r.
\end{align*}
\end{proof}

\section{Die Tiefe eines Moduls bezüglich eines Ideals}

\begin{df}\footnote{In zukünftigen Versionen dieses Skripts sollte nach dieser Definition die Bemerkung \ref{tbem} kommen.}\label{ddef} [$\to$\ref{hdef}(a)]
Sei $R$ ein Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein $R$-Modul.
Die \emph{Tiefe von $M$ bezüglich $I$} (oder $I$-Tiefe von $M$) ist gegeben durch
\begin{align*}
\depth_IM&:=\sup\{r\in\N_0\mid\exists a_1,\dots,a_r\in I:a_1,\dots,a_r\text{ ist Nichtnullteilerfolge für $M$}\}\\
&\in\N_0\cup\{\infty\}.
\end{align*}
\end{df}

\begin{sat}\label{tleh}
Sei $R$ ein noetherscher Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann gilt
\[\depth_IM\le\height_IM.\]
\end{sat}

\begin{proof}
Nach Satz \ref{minusnnt} gilt $\height_IM=\height_I\left(M/\sum_{i=1}^ra_iM\right)+r\ge0+r=r$ für alle Nichtnullteilerfolgen $a_1,\dots,a_r$
in $I$ für $M$.
\end{proof}

\begin{sat}\label{dinfinity}
Seien $R$ ein Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul mit $IM=M$. Dann gilt $\depth_IM=\infty$.
\end{sat}

\begin{proof} Sei $a_1,\dots,a_r$ eine Nichtnullteilerfolge in $I$ für $M$. Wir zeigen, dass es ein $a\in I$ gibt so, dass
$a_1,\dots,a_r,a$ wieder eine Nichtnullteilerfolge für $M$ ist. Zu zeigen ist also die Existenz eines Nichtnullteilers $a\in I$ für den
Modul $N:=M/\sum_{i=1}^ra_iM$. Aus $IM=M$ folgt offensichtlich $IN=N$. Nach dem Nakayama-Lemma 1.1.17 gibt es
ein $b\in R$ mit $1-b\in I$ und $bN=0$. Setze $a:=1-b\in I$. Dann gilt für alle $x\in N$ mit $ax=0$, dass
$x=x-0=x-ax=(1-a)x=bx=0$. Also ist $a$ kein Nullteiler für $M$.
\end{proof}

\begin{kor}\label{tinf}\emph{[$\to$\ref{hinfinity}]}
Seien $R$ ein noetherscher Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann gilt
$\depth_IM=\infty\iff IM=M$.
\end{kor}

\begin{proof}
``$\Longleftarrow$'' folgt  aus Satz \ref{dinfinity} und ``$\Longrightarrow$'' aus den Sätzen \ref{tleh} und \ref{hinfinity}.
\end{proof}

\begin{lem}\label{convlem}
Sei $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul, $a\in R$ kein Nullteiler für $M$, $\p\in\ass(M/aM)$ und $b\in\p$ kein Nullteiler für $M$. Dann gilt
$\p\in\ass(M/bM)$.
\end{lem}

\begin{proof}
Wähle gemäß Definition 2.2.3 ein $x\in M$ mit $\p=\ann_{M/aM}(\overline x)$. Wegen $b\in\p$ gibt es ein $y\in M$ mit $bx=ay$. Wir
behaupten $\p=\ann_{M/bM}(\overline y)$. Zu zeigen ist hierzu für alle $c\in R$
\[cx\in aM\iff cy\in bM.\]
``$\Longrightarrow$'' Ist $cx\in aM$, so $cbx\in abM$ und daher $acy=cay\in abM$. Da $a$ kein Nullteiler für $M$ ist, folgt $cy\in bM$.

\smallskip\noindent
``$\Longleftarrow$'' Ist $cy\in bM$, so $cay\in abM$ und daher $bcx=cbx\in baM$. Da $b$ kein Nullteiler für $M$ ist, folgt $cx\in aM$.
\end{proof}

\begin{pro}\label{nntlocal}
Sei $R$ ein Ring, $S\subseteq R$ multiplikativ und $M$ ein $R$-Modul. Sei $a_1,\dots,a_r$ eine Nichtnullteilerfolge für $M$ und seien
$s_1,\dots,s_r\in S$. Dann bilden $\frac{a_1}{s_1},\dots,\frac{a_r}{s_r}$ eine Nichtnullteilerfolge für $S^{-1}M$.
\end{pro}

\begin{proof}
Sei $i\in\{1,\dots,r\}$. Zu zeigen ist, dass $\frac{a_i}{s_i}$ kein Nullteiler für den Modul
\[S^{-1}M/\sum_{j=1}^{i-1}\frac{a_j}{s_j}S^{-1}M\cong S^{-1}(M/\sum_{j=1}^{i-1}a_jM)\]
ist, wobei die Isomorphie aus 1.2.13 mit
$\sum_{j=1}^{i-1}\frac{a_j}{s_j}S^{-1}M=\sum_{j=1}^{i-1}\frac{a_j}1S^{-1}M=S^{-1}\sum_{j=1}^{i-1}a_jM$ folgt.
Sei daher $x\in M/\sum_{j=1}^{i-1}a_jM$ und $s\in S$ mit $\frac{a_i}{s_i}\frac xs=0$. Es ist $\frac xs=0$ zu zeigen. Wähle
$t\in S$ mit $ta_ix=0$. Da $a_i$ nach Voraussetzung kein Nullteiler für den Modul $M/\sum_{j=1}^{i-1}a_jM$ ist, folgt
$tx=0$ und daher $\frac xs=\frac{tx}{st}=0$.
\end{proof}

\begin{sat}[Matsumura]\label{matsumura}
Sei $R$ ein noetherscher Ring, $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul, $a$ ein Nichtnullteiler für $M$
und $\p\in\ass M$. Dann ist jedes minimale Primoberideal von $\p+(a)$ assoziiert zum $R$-Modul $M/aM$.
\end{sat}

\begin{proof}
Sei $\q$ ein minimales Primoberideal von $\p+(a)$. Dann ist $R_\q$ nach 1.2.12(f) noethersch,
$M_\q$ nach 1.2.12(e) ein endlich erzeugter $R_\q$-Modul, $\frac a1\in R_\q$ nach \ref{nntlocal} ein Nichtnullteiler für $M_\q$,
$\p_\q\in\ass(M_\q)$ nach 2.2.10 und $\q_\q$ ein minimales Primoberideal von $(\p+(a))_{\q}=\p_\q+(\frac a1)$, wie man mit 1.2.19
leicht zeigt.
Wenn wir $\q_\q\in\ass(M_\q/\frac a1M_\q)$ zeigen können, so folgt nach 1.2.13 wegen
$\frac a1M_\q=(aM)_\q$, dass $M_\q/\frac a1M_\q\cong(M/aM)_\q$ und daher $\q_\q\in(\ass(M/aM)_\q)$.
Mit 1.2.20 und 2.2.10 folgt dann $\q\in\ass(M/aM)$. Deshalb können wir $R$ durch $R_\q$ ersetzen und von nun an voraussetzen,
dass $R$ lokal mit maximalem Ideal $\q$ ist.

\smallskip\noindent
Betrachte nun den Untermodul $N:=\{y\in M\mid\p\subseteq\ann(y)\}$ von $M$. Sicher ist $N\ne0$, denn wählt man
$x\in M$ mit $\p=\ann(x)$, dann $0\ne x\in N$. Da $\q$ ein minimales Primoberideal von $\p+(a)$ ist, welches alle anderen Primideale
von $R$ enthält, ist es das einzige Primoberideal von $\p+(a)$ und damit insbesondere gleich $\sqrt{\p+(a)}$ [$\to$1.3.6]. Da $R$ noethersch
ist, gibt es ein $n\in\N$ mit $\q^n\subseteq\p+(a)$ [$\to$1.3.10]. Insbesondere ist $\q^nN\subseteq(\p+(a))N\subseteq\p N+aN\subseteq
0+aM=aM$.

\smallskip\noindent
Angenommen es gilt sogar $N\subseteq aM$. Für den Untermodul $P:=\{y\in M\mid ay\in N\}$ von $M$ gilt dann $N=aP$. Es folgt
$a\p P=\p N=0$ und damit sogar $\p P=0$, da $a$ kein Nullteiler für $M$ ist. Also $P\subseteq N$ und damit $N=aP\subseteq aN
\subseteq\q N\subseteq N$, das heißt $N=\q N$. Das Nakayama-Lemma in seiner zweiten Fassung 1.1.21
(beachte 1.1.9) widerspricht nun $N\ne0$.

\smallskip\noindent
Wähle nun $n\in\N$ minimal mit $\q^nN\subseteq aM$. Dann gilt $\q^{n-1}N\not\subseteq aM$. Wähle $z\in\q^{n-1}N\setminus aM$.
Dann $\q z\subseteq aM$, also $I:=\{b\in R\mid bz\in aM\}\supseteq\q$. Weil $I$ ein Ideal von $R$ mit $1\notin I$ und $\q$ ein
maximales Ideal von $R$ ist, folgt
$\q=\{b\in R\mid bz\in aM\}$, das heißt $\q=\ann_{M/aM}(\overline z)$. Also $\q\in\ass(M/aM)$ wie gewünscht.
\end{proof}

\begin{sat}[Vertauschungssatz für Nichtnullteilerfolgen] Seien $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$, $M$ ein endlich
erzeugter $R$-Modul, $a_1,\dots,a_r$ eine Nichtnullteilerfolge in $\m$ für $M$ und $\si\in S_r$. Dann ist auch
$a_{\si(1)},\dots,a_{\si(r)}$ eine Nichtnullteilerfolge in $\m$ für $M$.
\end{sat}

\begin{proof}
\OE\ ist $\si$ eine Nachbartransposition, da jedes Element von $S_r$ ein Produkt solcher ist.
Mit \ref{nnfbem}(a) können wir uns dann leicht auf den Fall $r=2$ zurückziehen. Zu zeigen ist:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $a_2$ ist kein Nullteiler für  $M$.
\item $a_1$ ist kein Nullteiler für $M/a_2M$.
\end{enumerate}
Wir zeigen beides mittels 2.2.5.

\smallskip\noindent
Für (a) sei $\p\in\ass M$. Zu zeigen ist $a_2\notin\p$.
Wegen $\p+(a_1)\subseteq\m$ gibt es nach 1.3.5 und 1.3.7
ein minimales Primoberideal $\q$ von $\p+(a_1)$. Nach dem Satz von Matsumura \ref{matsumura} gilt $\q\in\ass(M/a_1M)$.
Nach 2.2.5 gilt $a_2\notin\q$, denn $a_2$ ist nach Voraussetzung kein Nullteiler für $M/a_1M$. Also gilt erst recht $a_2\notin\p$.

\smallskip\noindent
Für (b) sei $\p\in\ass(M/a_2M)$. Wäre $a_1\in\p$, so wäre $\p\in\ass(M/a_1M)$ wegen (a) und Lemma \ref{convlem}, was
$a_2\in\ann(M/a_2M)\subseteq\p$ widerspräche, denn dann wäre $a_2$ nach 2.2.5 ein Nullteiler für $M/a_1M$.
\end{proof}

\begin{lem}\label{avant}
Sei $R$ ein noetherscher Ring, $M$ ein $R$-Modul und $a_1,\dots,a_r$ eine Nichtnullteilerfolge für $M$. Sei $a_0\in R$ für keinen
der Moduln $M/\sum_{j=1}^ia_jM$ mit $i\in\{0,\dots,r\}$ ein Nullteiler. Dann ist $a_0,a_1,\dots,a_r$ auch eine
Nichtnullteilerfolge für $M$.
\end{lem}

\begin{proof}
Wir zeigen die Behauptung durch Induktion nach $r\in\N_0$.

\smallskip\noindent
\underline{$r=0$}\quad trivial

\smallskip\noindent
\underline{$r=1$}\quad Nach 2.2.5 liegt $a_0$ in keinem
zu $M/a_1M$ assoziierten Primideal, während es wegen $a_0\in\ann(M/a_0M)$ selbstverständlich in jedem zu $M/a_0M$ assoziierten Primideal liegt. Insbesondere $\ass(M/a_0M)\cap\ass(M/a_1M)=\emptyset$. Da weder $a_0$ noch $a_1$ ein Nullteiler für $M$ ist,
gilt nach Lemma \ref{convlem}, dass $a_1\notin\p$ für alle $\p\in\ass(M/a_0M)$. Nach 2.2.5 ist $a_1$ also kein Nullteiler für $M/a_0M$.
Also ist $a_0,a_1$ eine Nichtnullteilerfolge für $M$.

\smallskip\noindent
\underline{$1,r-1\to r\quad(r\ge2)$}\quad Nach Induktionsvoraussetzung ist $a_0,\dots,a_{r-1}$ eine Nichtnullteilerfolge für $M$. Es bleibt zu zeigen, dass
$a_r$ kein Nullteiler für $M/\sum_{j=0}^{r-1}a_jM$ ist. Wir zeigen hierzu sogar, dass
$a_1,\dots,a_{r-1},a_0,a_r$ eine Nichtnullteilerfolge für $M$ ist, denn dann ist insbesondere
$a_r$ kein Nullteiler für $M/(\sum_{j=1}^{r-1}a_jM+a_0M)=M/\sum_{j=0}^{r-1}a_jM$. Hierzu ist wegen \ref{nnfbem}(a) nur zu zeigen, dass
$a_0,a_r$ eine Nichtnullteilerfolge für $N:=M/\sum_{j=1}^{r-1}a_jM$ ist. Durch Anwendung der Induktionsvoraussetzung auf den Modul $N$
reicht es hierfür zu zeigen, dass $a_0$ weder ein Nullteiler für $N$ noch für $N/a_rN$ ist. Beides folgt direkt aus der Voraussetzung, letzteres
wegen $N/a_rN\cong M/\sum_{j=1}^ra_jM$.
\end{proof}

\begin{df}
Seien $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul, $I\subseteq R$ ein Ideal und $a_1,\dots,a_r$ eine \emph{Nichtnullteilerfolge in $I$ für $M$}
heißt \emph{verlängerbar}, wenn es ein $a\in I$ gibt derart, dass $a_1,\dots,a_r,a$ eine Nichtnullteilerfolge für $M$ ist.
\end{df}

\begin{sat}[Hauptsatz über Nichtnullteilerfolgen]\label{hauptnnt}
Seien $R$ ein noetherscher Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal, $M$ ein endlich erzeugter
$R$-Modul, $r\in\N_0$ und $a_1,\dots,a_r$ eine Nichtnullteilerfolge in $I$ für $M$. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[\rm(a)]
\item $r=\depth_IM$
\item $a_1,\dots,a_r$ ist nicht verlängerbar als Nichtnullteilerfolge in $I$ für $M$.
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof}
(a)$\implies$(b) ist klar nach Definition \ref{ddef}. Wir zeigen (b)$\implies$(a) durch Induktion nach $r$:

\smallskip\noindent
\underline{r=0}\quad$\checkmark$

\smallskip\noindent
\underline{r=1}\quad Gelte (b). Es ist $r\le\depth_IM$ trivial. Um $\depth_IM\le r=1$ zu zeigen, sei
$b\in I$ kein Nullteiler für $M$. Zu zeigen ist, dass jedes Element von $I$ ein Nullteiler für $M/bM$ ist,
was nach 2.2.5 zu $I\subseteq\bigcup\ass(M/bM)$ äquivalent ist. Nach Voraussetzung (b) ist jedes Element von $I$ ein Nullteiler für
$M/a_1M$, was wieder nach 2.2.5 mit $I\subseteq\bigcup\ass(M/a_1M)$ gleichbedeutend ist. Da $\ass(M/a_1M)$ nach 2.2.18 endlich ist,
gibt es gemäß 1.3.4 ein $\p\in\ass(M/a_1M)$ mit $I\subseteq\p$. Aus Lemma \ref{convlem} folgt nun $\p\in\ass(M/bM)$, da $b\in I\subseteq\p$.
Also $I\subseteq\p\subseteq\bigcup\ass(M/bM)$.

\smallskip\noindent
\underline{$1,r-1\to r\quad(r\ge2)$} \quad Gelte (b). Wieder ist $r\le\depth_IM$ trivial. Um $\depth_IM\le r$ zu zeigen, sei
$b_1,\dots,b_s$ eine weitere Nichtnullteilerfolge in $I$ für $M$. Zu zeigen ist $s\le r$. \OE\ $s\ge1$. Dazu reicht es zu zeigen,
dass es ein $c\in I$ gibt derart, dass
\begin{enumerate}[(1)]
\item[$(*)$] $c,a_1,\dots,a_{r-1}$ eine nicht verlängerbare Nichtnullteilerfolge in $I$ für $M$ und
\item[$(**)$] $c,b_1,\dots,b_{s-1}$ eine Nichtnullteilerfolge in $I$ für $M$
\end{enumerate}
ist, denn dann ist mit \ref{nnfbem}(a) $a_1,\dots,a_{r-1}$ eine nicht verlängerbare Nullteilerfolge in $I$ für $M/cM$ und
$b_1,\dots,b_{s-1}$ eine Nichtnullteilerfolge in $I$ für $M/cM$, so dass aus der Induktionsvoraussetzung angewandt auf den endlich
erzeugten $R$-Modul $M/cM$ folgt $s-1\le r-1$ und daher $s\le r$. Um $(*)$ und $(**)$ zu zeigen,
reicht es nach Lemma \ref{avant} zu zeigen, dass es ein $c\in I$
gibt mit
\begin{enumerate}[(1)]
\item[$(\bigcirc)$] $c$ ist für keinen der $r+s$ Moduln $M/\sum_{j=1}^ia_jM$ mit $i\in\{0,\dots,r-1\}$ und $M/\sum_{j=1}^ib_jM$ mit $i\in\{0,\dots,s-1\}$ ein Nullteiler und
\item[$(\Box)$] jedes Element von $I$ ist ein Nullteiler für $M/(cM+\sum_{j=1}^{r-1}a_jM)$,
\end{enumerate}
wobei $(\Box)$ die Bedingung "`nicht verlängerbar"' in $(*)$ sicherstellt.
Wir zeigen zunächst, dass jedes $c\in I$ mit $(\bigcirc)$ automatisch auch $(\Box)$ erfüllt: Erfülle $c\in I$ die Bedingung $(\bigcirc)$.
Nach Bemerkung \ref{nnfbem}(a) und Voraussetzung (b) ist $a_r$ eine nicht verlängerbare Nichtnullteilerfolge in $I$ für den $R$-Modul
$N:=M/\sum_{j=1}^{r-1}a_jM$, der nach Induktionsvoraussetzung daher Tiefe $1$ bezüglich $I$ hat. Da $c$ wegen $(\bigcirc)$ kein
Nullteiler für $N$ ist, ist auch $c$ eine nicht verlängerbare Nichtnullteilerfolge in $I$ für $N$. Es gibt in $I$ also keinen Nullteiler für
$N/cN\cong M/(cM+\sum_{j=1}^{r-1}a_jM)$.

\smallskip\noindent
Schließlich zeigen wir die Existenz von $c\in I$ mit $(\bigcirc)$. Nach 2.2.5 ist diese gleichbedeutend zu
\[I\not\subseteq\bigcup\left(\bigcup_{i=0}^{r-1}\ass\left(M/\sum_{j=1}^ia_jM\right)\cup\bigcup_{i=0}^{s-1}\ass\left(M/\sum_{j=1}^ib_jM\right)\right).\]
Da zu jedem endlich erzeugten Modul über $R$ nach 2.2.18 nur endlich viele Primideale assoziiert sind, reicht es dazu nach 1.3.4 schon zu
zeigen, dass $I$ in keinem der zu einem der oben genannten $r+s$ Moduln assoziierten Primideale enthalten ist. Tatsächlich gilt nach 2.2.5
sogar
\begin{align*}
a_{i+1}&\in I\setminus\bigcup\ass\left(M/\sum_{j=1}^ia_jM\right)\text{ für $i\in\{0,\dots,r-1\}$ und}\\
b_{i+1}&\in I\setminus\bigcup\ass\left(M/\sum_{j=1}^ib_jM\right)\text{ für $i\in\{0,\dots,s-1\}$}.
\end{align*}
\end{proof}

\begin{sat}\label{tminus1}\emph{[$\to$\ref{minusnnt}]}
Sei $R$ ein noetherscher Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal, $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul,
$r\in\N_0$ und $a_1,\dots,a_r$ eine
Nichtnullteilerfolge in $I$ für $M$. Dann gilt
\[\depth_I\left(M/\sum_{i=1}^ra_iM\right)=\depth_IM-r\qquad(\text{$mit$ $\infty-r:=\infty$}).\]
\end{sat}

\begin{proof}
Schreibe $N:=M/\sum_{i=1}^ra_iM$ und sei zunächst $\depth_IM=\infty$. Nach \ref{tinf} gilt dann $IM=M$. Daraus folgt sofort
$IN=N$, woraus wieder mit \ref{tinf} folgt $\depth_IN=\infty$.
Sei nun $\depth_IM<\infty$. Dann kann man $a_1,\dots,a_r$ offenbar zu einer nicht verlängerbaren Nichtnullteilerfolge
$a_1,\dots,a_r,b_1,\dots,b_s$ in $I$ für $M$ ergänzen für ein $s\in\N_0$.
Nach dem Hauptsatz über Nichtnullteilerfolgen \ref{hauptnnt} gilt dann $r+s=\depth_IM$. Nach \ref{nnfbem}(a) ist
$b_1,\dots,b_s$ eine nicht verlängerbare Nichtnullteilerfolge in $I$ für $N$, woraus wieder mit dem Hauptsatz folgt $s=\depth_IN$.
\end{proof}

\chapter{Cohen-Macaulay-Ringe}

In diesem Kapitel seien wieder alle Ringe kommutativ.

\section{Die Krulldimension eines Moduls}

\begin{sat}\mbox{}\emph{[$\to$2.2.15]}\label{ritrag}
Sei $M$ ein $R$-Modul und $I\subseteq R$ ein Ideal mit $IM=0$, so dass $M$ auch als $R/I$-Modul aufgefasst werden kann. Dann
gilt $I\subseteq\p$ für alle $\p\in\supp M$ und
\[\supp_{R/I}M=\{\p/I\mid\p\in\supp_RM\}.\]
\end{sat}

\begin{proof}
Ist $\p\in\supp M$, so gilt $I\overset{IM=0}\subseteq\ann M\overset{2.2.13}\subseteq\p$.
Wegen \[\spec(R/I)\overset{1.3.7}=\{\p/I\mid\p\in\spec R, I\subseteq\p\}\] reicht es zu zeigen, dass für alle
$\p\in\spec R$ mit $I\subseteq\p$ gilt:
\[\p/I\in\supp_{R/I}(M)\iff\p\in\supp_R(M).\]
Sei also $\p\in\spec R$ mit $I\subseteq\p$.
Nach Definition 2.2.11 bleibt zu zeigen
\[M_{\p/I}=0\iff M_\p=0,\]
wobei $M$ links als $R/I$-Modul und rechts als $R$-Modul aufgefasst wird. Hierzu reicht es für alle $x\in M$ zu zeigen, dass
\[\frac x1=0\text{ in }M_{\p/I}\iff\frac x1=0\text{ in }M_\p.\]
Dies ist einfach.
\end{proof}

\begin{pro}\label{nachoben}
Sei $M$ ein $R$-Modul. Dann gilt für alle $\p\in\supp M$ und $\q\in\spec R$ mit $\p\subseteq\q$, dass $\q\in\supp M$.
\end{pro}

\begin{proof} Zu zeigen ist, dass für alle $\p,\q\in\spec R$ mit $\p\subseteq\q$ gilt \[M_\q=0\implies M_\p=0.\]
Tatsächlich gilt allgemeiner für alle multiplikativen Mengen $S,T\subseteq R$ mit $T\subseteq S$
\[T^{-1}M=0\implies S^{-1}M=0:\]
In der Tat: Seien $S,T\subseteq R$ multiplikativ, $T\subseteq S$ mit $T^{-1}M=0$ und sei $x\in M$.
Wegen $\frac x1=0$ in $T^{-1}M$ gibt es ein $s\in T\subseteq S$ mit $sx=0$, was $\frac x1=0$ in $S^{-1}M$ zeigt.
\end{proof}

\begin{pro}\mbox{}\emph{[$\to$2.2.8,\;1.1.5(b)]}\label{trag}
Sei $0\to N\overset f\to M\overset g\to P\to 0$ eine exakte Sequenz von $R$-Moduln \emph{[$\to$1.1.4(d)]}. Dann gilt
$\supp M=(\supp N)\cup(\supp P)$.
\end{pro}

\begin{proof} Nach 1.2.12(a) besteht für alle $\p\in\spec R$ die exakte Sequenz
\[0\to N_\p\overset{f_\p}\to M_\p\overset{g_\p}\to P_\p\to 0.\]
von $R_\p$-Moduln, wegen der $M_\p=0\iff(N_\p=0 \et P_\p=0)$ gilt.
\end{proof}

\begin{df}\mbox{}[$\to$2.1.1] \label{krullm} Sei $M$ ein $R$-Modul. Die \emph{Krulldimension} (kurz \emph{Dimension}) von $M$ ist definiert durch
\begin{multline*}
\dim M:=\dim_RM:=\sup\{n\in\N_0\mid\exists\p_0,\dots,\p_n\in\supp M:\p_0\subset p_1\subset\ldots\subset\p_n\}\\
\in\{-1\}\cup\N_0\cup\{\infty\},
\end{multline*}
wobei das Supremum wieder in der geordneten Menge $\{-1\}\cup\N_0\cup\{\infty\}$ genommen wird. Beachte dabei
die Warnung \ref{krumbem}(d) unten.
\end{df}

\begin{bem}\label{krumbem}
Sei $M$ ein $R$-Modul.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\dim M=-1\overset{\ref{krullm}}\iff\supp M=\emptyset\overset{2.2.12(a)}\iff M=0$
\item $\dim M\overset{2.2.1}\le\dim R$
\item Die Krulldimension von $R$ als $R$-Modul ist wegen 2.2.12(b) nichts anderes als die Krulldimension von $R$ als Ring.
\item Ist $R$ ein Körper und damit $M$ ein $R$-Vektorraum, so gilt stets $\dim V\le0$, da $\spec K=\{(0)\}$.
Der Dimensionsbegriff für Vektorräume
aus der linearen Algebra hat daher mit dem hiesigen Dimensionsbegriff kaum etwas zu tun. Um nicht durcheinanderzukommen,
reservieren wir in diesem Skript die Abkürzung $\dim$ ausschließlich für die Krulldimension und erwähnen explizit, wenn wir
die Dimension im Sinne der linearen Algebra meinen, etwa indem wir von der "`Vektorraumdimension"' reden.
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{pro}\label{dimdim}
Sei $M$ ein $R$-Modul. Dann gilt
\[\dim M=\sup\{\dim(R/\p)\mid\p\in\supp M\},\]
wobei das Supremum wieder in der geordneten Menge $\{-1\}\cup\N_0\cup\{\infty\}$ genommen wird.
\end{pro}

\begin{proof}
Für $\p\in\supp M$ gilt nach 1.3.7 und 2.1.1
\[\dim(R/\p)=\sup\{n\in\N_0\mid\exists\p_1,\dots,\p_n\in\spec R:\p\subset\p_1\subset\ldots\subset\p_n\}\]
und wegen \ref{nachoben} daher
\[\dim(R/\p)=\sup\{n\in\N_0\mid\exists\p_1,\dots,\p_n\in\supp M:\p\subset\p_1\subset\ldots\subset\p_n\},\]
wobei die Suprema natürlich wieder in $\{-1\}\cup\N_0\cup\{\infty\}$ genommen werden. Daraus folgt leicht die Behauptung.
\end{proof}

\begin{pro} Es gebe eine exakte Sequenz $0\to N\to M\to P\to 0$ von $R$-Moduln. Dann gilt
$\dim M=\max\{\dim N,\dim P\}$.
\end{pro}

\begin{proof}
\begin{align*}
\dim M&\overset{\ref{dimdim}}=\sup\{\dim(R/\p)\mid\p\in\supp M\}\\
&\overset{\ref{trag}}=\sup\{\dim(R/\p)\mid\p\in(\supp N)\cup(\supp P)\}\\
&\overset{\ \ \ \ \ }=\max\{\sup\{\dim(R/\p)\mid p\in\supp N\},\sup\{\dim(R/\p)\mid\p\in\supp P\}\}\\
&\overset{\ref{dimdim}}=\max\{\dim N,\dim P\}
\end{align*}
\end{proof}

\begin{pro}\label{grudim}
Ist $M$ ein $R$-Modul und $I\subseteq R$ ein Ideal mit $IM=0$, so gilt
\[\dim_RM=\dim_{R/I} M,\]
wobei rechts $M$ als $R/I$-Modul aufgefasst wird.
\end{pro}

\begin{proof}
\ref{ritrag} und 1.3.7
\end{proof}

\begin{sat}\label{eedimann}
Ist $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul, so gilt $\dim M=\dim(R/\ann M)$.
\end{sat}

\begin{proof}
2.2.13 und 1.3.7
\end{proof}

\section{Cohen-Macaulay-Moduln}

\begin{bem}\label{dimheight}
Ist $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$ und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Falls $M\ne0$, so gilt
\[\dim M\overset{\ref{eedimann}}=\dim(R/\ann M)\overset{2.1.4(a)}{\underset{\ann M\subseteq\m}=}\height(\m/\ann M)
\overset{\ref{hbem}(a)}{\underset{\ann M\subseteq\m}=}\height_\m M\]
und daher $0\overset{2.1.3}\le\dim M\overset{2.4.5}<\infty$.
\end{bem}

\begin{df}\label{defdepth}
Sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$ und $M$ ein $R$-Modul. Dann nennen wir
\[\depth M:=\depth_\m M\in\N_0\cup\{\infty\}\] [$\to$\ref{ddef}] die \emph{Tiefe} von $M$.
\end{df}

\begin{bem}\label{infdepth}
Sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$ und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann gilt
\[\depth M=\infty\overset{\ref{tinf}}\iff\m M=M\overset{1.1.21}\iff M=0.\]
\end{bem}

\begin{sat}\label{depthdim}
Sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$ und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Falls $M\ne0$, so gilt
\[0\le\depth M\le\dim M<\infty.\]
Zum Vergleich: Falls $M=0$, so gilt $\depth M=\infty$ und $\dim M=-1$.
\end{sat}

\begin{proof}
Ist $M\ne0$, so $0\overset{\ref{defdepth}}\le\depth M\overset{\ref{defdepth}}=\depth_\m M\overset{\ref{tleh}}\le\height_\m M\overset{\ref{dimheight}}=\dim M\overset{\ref{dimheight}}<\infty$. Ist $M=0$, so
$\depth M\overset{\ref{infdepth}}=\infty$ und $\dim M\overset{\ref{krumbem}(a)}=-1$.
\end{proof}

\begin{df}\label{defcm}[$\to$\ref{depthdim}]
Ein endlich erzeugter Modul über einem lokalen noetherschen Ring heißt ein \emph{Cohen-Macaulay-Modul} (kurz: \emph{CM-Modul}),
wenn seine Tiefe und Krulldimension übereinstimmen.
\end{df}

\begin{bsp}\label{mod0}
Endlich erzeugte nulldimensionale Moduln über lokalen noetherschen Ringen sind CM-Moduln.
\end{bsp}

\begin{sat}\label{cmdr}
Sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$, $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul,
$d,r\in\N_0$ und $a_1,\dots,a_r$ eine Nichtnullteilerfolge
in $\m$ für $M$ \emph{[$\to$\ref{nnfdef}]}. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $M$ ist ein CM-Modul der Krulldimension $d$
\item $M/\sum_{i=1}^ra_iM$ ist ein CM-Modul der Krulldimension $d-r$
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof}
Aus der zweiten Fassung des Nakayama-Lemmas 1.1.21 erhält man leicht
\[M=0\iff M/\sum_{i=1}^ra_iM=0.\]
Ausserdem ist mit $M$ auch $M/\sum_{i=1}^ra_iM$ endlich erzeugt.
Nun folgt unter Beachtung von Bemerkung \ref{dimheight} alles leicht aus den Sätzen
\ref{minusnnt} und \ref{tminus1}.
\end{proof}

\begin{bem}\footnote{Diese Bemerkung sollte in zukünftigen Versionen dieses Skripts besser nach Definition
\ref{ddef} kommen.}[$\to$\ref{hbem}(b)]\label{tbem}
Sei $R$ ein Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein $R$-Modul.
Ist $J\subseteq R$ ein weiteres Ideal und gilt $JM=0$, so $\depth_IM=\depth_{(I+J)/J}M$, wobei rechts $M$ als
$R/J$-Modul aufgefasst wird. Dies folgt sofort aus \ref{nnfbem}(b).
\end{bem}

\begin{pro}\label{grundwechs}
Seien $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$, $I\subseteq\m$ ein Ideal von $R$ und
$M$ ein $R$-Modul mit $IM=0$. Dann sind
äquivalent:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $M$ ist ein CM-Modul über $R$.
\item $M$ ist ein CM-Modul über $R/I$.
\end{enumerate}
\end{pro}

\begin{proof}
$R/I$ ist ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m/I$. Benutze nun \ref{grudim} und \ref{tbem} und beachte, dass
$M$ trivialerweise als $R$-Modul genau dann endlich erzeugt ist, wenn er als $R/I$-Modul endlich erzeugt ist.
\end{proof}

\begin{sat}[Ungemischtheitssatz]\label{mischt}
Sei $M$ ein $CM$-Modul über $R$ mit $\dim M=d$. Für alle
$\p\in\ass M$ gilt dann $\dim(R/\p)=d$.
\end{sat}

\begin{proof} Es ist $M\ne0$ und somit $d\in\N_0$. Wir machen Induktion nach $d$:

\smallskip\noindent\underline{$d=0$}\quad Wegen $\dim(R/\ann M)\overset{\ref{eedimann}}=\dim M=0$, 1.3.7 und 2.2.19 gilt
\[\ass M=(\ass M)^{\min}=\{\m\}.\]
Nach 2.1.2(b) gilt $\dim(R/\m)=0$, da $R/\m$ nach A2.4.4(b) ein Körper ist.

\bigskip\noindent\underline{$d-1\to d\quad(d\in\N)$}\quad Sei $\p\in\ass M$. Dann gilt natürlich $\ann M\subseteq\p$ und daher
\[\dim(R/\p)\le\dim(R/\ann M)\overset{\ref{eedimann}}=\dim M=d.\]
Zu zeigen bleibt $\dim(R/\p)\ge d$. Wegen $\depth_\m M=\depth M=d\ge1$ gibt es ein $a\in\m$, welches kein Nullteiler für $M$ ist.
Nach Satz \ref{cmdr} ist $M/aM$ ein CM-Modul der Krulldimension $d-1$. Das Ideal $\p+(a)\subseteq\m$ besitzt nach 1.3.5 und 1.3.7
ein minimales Primoberideal $\q$. Der Satz von Matsumura \ref{matsumura} liefert $\q\in\ass(M/aM)$. Die Induktionsvoraussetzung
angewandt auf $M/aM$ und $\q$ liefert $\dim(R/\q)=d-1$. Sicher gilt $a\notin\p$, denn nach 2.2.5 ist jedes Element von $\p$ ein Nullteiler für $M$. Daraus folgt $\p\subset\q$. Aus Definition 2.1.1 und 1.3.7 folgt daher $\dim(R/\p)\ge\dim(R/\q)+1=(d-1)+1=d$.
\end{proof}

\begin{kor}\label{mischtkor}
Ist $M$ ein $CM$-Modul über $R$, so gilt $\ass M=(\ass M)^{\min}$.
\end{kor}

\section{Kettenringe}

\begin{pro}\label{finpro}
Sei $R$ ein noetherscher Ring. Dann gibt es in (der bezüglich Inklusion halbgeordneten Menge) $\spec R$ keine unendliche Kette, das
heißt $R$ besitzt nicht unendlich viele paarweise bezüglich Inklusion vergleichbare Primideale.
\end{pro}

\begin{proof}
Angenommen $C$ ist eine ist eine unendliche Kette in $\spec R$. Besitzt $C$ kein größtes Element, so dann erhält man leicht eine aufsteigende Kette \[\p_1\subset\p_2\subset\p_3\subset\dots\] von Primidealen von $R$ $\lightning$. Besitzt $C$ hingegen ein größtes Element $\p$,
so $\height\p=\infty$ im Widerspruch zu 2.4.5, da $C$ als unendliche Kette natürlich beliebig lange endliche Ketten enthält $\lightning$.
\end{proof}

\begin{bem}\label{maxbem}
Sei $M$ eine halbgeordnete Menge. Man zeigt leicht, dass in $M$ jede Kette in einer maximalen Kette enthalten ist.
Im allgemeinen Fall wendet man hierzu das Zornsche Lemma an auf die durch Inklusion halbgeordnete Menge der Ketten in $M$.
Wenn es in $M$ keine unendlichen Ketten gibt [$\to$\ref{finpro}], so kann man das auch leicht ohne das Zornsche Lemma bewerkstelligen.
\end{bem}

\begin{notation}\mbox{}[$\to$1.2.14]
Ist $M$ eine durch $\preceq$ halbgeordnete Menge und sind $a,b\in M$, so schreiben wir
\begin{align*}
M_a^b&:=\{c\in M\mid a\preceq c\preceq b\},\\
M_a&:=\{c\in M\mid a\preceq c\}\text{ und}\\
M^b&:=\{c\in M\mid c\preceq b\}.
\end{align*}
\end{notation}

\begin{df}\mbox{}[$\to$\ref{finpro}]\label{defkette}
Wir nennen einen noetherschen Ring $R$ einen \emph{Kettenring}, wenn für alle $\p,\q\in\spec R$ und alle maximalen Ketten $C$ und $D$ in $(\spec R)_\p^\q$ gilt $\#C=\#D$.\footnote{In einer späteren Version dieses Skripts wäre es eventuell schöner, Kettenringe über die
in Satz \ref{dannkett} unten vorausgesetzte Eigenschaft zu definieren und dann die Eigenschaft aus dieser Definition in Satz \ref{dannkett} zu zeigen.}
\end{df}

\begin{sat} Quotienten und Lokalisierungen von Kettenringen sind wieder Kettenringe.
\end{sat}

\begin{proof}
1.2.12(f), 1.2.19 und 1.3.7
\end{proof}

\begin{pro}\label{dannkett}
Sei $R$ ein noetherscher Ring mit der Eigenschaft, dass für alle maximalen Ketten $C$ und $D$ in $\spec R$ gilt $\#C=\#D$.
Dann ist $R$ ein Kettenring.
\end{pro}

\begin{proof}
Seien $\p,\q\in\spec R$ und $C$ und $D$ maximale Ketten in $(\spec R)_\p^\q$. Zu zeigen ist $\#C=\#D$. Gilt $\p\not\subseteq\q$,
so gilt $(\spec R)_\p^\q=\emptyset$ und damit $C=\emptyset=D$.
Gilt $\p=\q$, so gilt $(\spec R)_\p^\q=\{\p\}$ und damit $C=\{\p\}=D$. Also \OE\ $\p\subset\q$. Wähle nun gemäß
Bemerkung \ref{maxbem} eine maximale Kette $A$ in $(\spec R)^\p$ und eine maximale Kette $B$ in $(\spec R)_\q$.
Nach Proposition \ref{finpro} sind $A$, $B$, $C$ und $D$ jeweils endliche Mengen.
Offenbar gilt $A\cap C=\{p\}$, $B\cap C=\{q\}$ und $A\cap C=\emptyset$. Also gilt
\begin{align*}
\#C&=\#(A\cup C\cup B)-\#(A\cup B)+2\quad\text{ und analog}\\
\#D&=\#(A\cup D\cup B)-\#(A\cup B)+2.
\end{align*}
Es reicht daher $\#(A\cup C\cup B)=\#(A\cup D\cup B)$ zu zeigen. Dies folgt aus der vorausgesetzten Eigenschaft von $R$,
dass $A\cup C\cup B$ und $A\cup D\cup B$ maximale Ketten in $\spec R$ sind. Wir zeigen dies nur für $A\cup C\cup B$, da es für
$A\cup D\cup B$ dann analog geht: Sei hierzu $\r\in\spec R$ derart, dass $A\cup C\cup B\cup\{\r\}$ eine Kette in $\spec R$ ist. Wegen
$\{\p,\q\}\subseteq A\cup C\cup B$ gilt dann $\r\subseteq\p$, $\p\subseteq\r\subseteq\q$ oder $\q\subseteq\r$. Also gilt
$A\cup\{\r\}\subseteq(\spec R)^\p$, $C\cup\{\r\}\subseteq(\spec R)_\p^\q$ oder $B\cup\{\r\}\subseteq(\spec R)_\q$. Wegen der
Maximalität von $A$, $C$ und $B$, folgt dann $\r\in A$, $\r\in C$ oder $\r\in B$.
\end{proof}

\begin{sat}\label{cmmprop}
Sei $M$ ein $CM$-Modul über $R$.
Dann ist $R/\ann M$ ein Kettenring und für jede maximale
Kette $C$ in $\spec(R/\ann M)$ gilt $\#C=(\dim M)+1$.
\end{sat}

\begin{proof}
Setze $d:=\dim(R/\ann M)\overset{\ref{eedimann}}=\dim M\overset{\ref{dimheight}}\in\N_0$. Nach Proposition \ref{dannkett} reicht es zu zeigen,
dass für alle maximalen Ketten $C$ in $\spec(R/\ann M)$ gilt $\#C=d+1$. Hierbei ist "`$\le$"' trivial.
Mit 1.3.7 ist also zu zeigen, dass für alle
maximalen Ketten $C$ in $\{\p\in\spec R\mid\ann M\subseteq\p\}$ gilt $\#C\ge d+1$. Dies zeigen wir durch Induktion nach $d$:

\smallskip\noindent
\underline{$d=0$}\quad klar nach Definition 2.1.1

\smallskip\noindent
\underline{$d-1\to d\quad (d\in\N)$}\quad Sei $C$ eine maximale Kette in $\{\p\in\spec R\mid\ann M\subseteq\p\}$.
Wegen $M\ne0$ gilt $1\notin\ann M$ und daher $\ann M\subseteq\m$, wobei $\m$ das maximale Ideal des lokalen noetherschen Ringes
$R$ bezeichne. Schreibe $C=\{p_0,\dots,\p_\ell\}$ mit $\ell:=\#C-1$ und $\p_0\subseteq\ldots\subseteq\p_\ell$. Dann gilt $\p_\ell=\m$
und wegen $d\ge1$ somit $\ell\ge1$. Wir behaupten, dass es
ein $a\in R$ gibt mit den folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $M/aM$ ist ein CM-Modul über $R$ mit $\dim(M/aM)=d-1$.
\item $C\setminus\{\p_0\}$ ist eine maximale Kette in $\{\p\in\spec R\mid\ann(M/aM)\subseteq\p\}$.
\end{enumerate}
Wenn wir das gezeigt haben, folgt mit der Induktionsvoraussetzung angewandt auf $M/aM$, dass $\#C-1=\#(C\setminus\{\p_0\})
\ge (d-1)+1=d$ und daher $\#C\ge d+1$ wie gewünscht. Hierzu reicht es ein $a\in R$ zu finden mit:
\begin{enumerate}[(a)]
\item[(c)] $a\in\p_1$ und $a$ ist kein Nullteiler für $M$.
\item[(d)] $\p_1$ ist ein minimales Primoberideal von $\ann(M/aM)$.
\end{enumerate}
In der Tat impliziert (c) nach Satz \ref{cmdr} die Bedingung (a). Dies bliebe sogar richtig, wenn man in (c) nur $a\in\m$ statt
$a\in\p_1$ fordern würde. Weil mit (b) automatisch $a\in\ann(M/aM)\subseteq\p_1$ gilt, brauchen wir aber ohnehin $a\in\p_1$.
Für das Folgende halten wir fest, dass wegen der Maximalität von $C$ gilt
\begin{equation}\tag{$*$}
\p_0\in\{\p\in\spec R\mid\ann M\subseteq\p\}^{\min}\overset{2.2.19}=(\ass M)^{\min}\subseteq\ass M.
\end{equation}

\smallskip\noindent
Als nächstes zeigen wir die überraschende Tatsache, dass jedes $a$ wie in (c) automatisch (d) erfüllt: Erfülle $a$ also (c) und damit wie
bereits bemerkt (a). Wegen $(*)$ und 2.2.5 gilt dann $a\notin\p_0$.
Wieder wegen der Maximalität von $C$ ist daher $\p_1$ ein minimales Primoberideal von $\p_0+(a)$ in $R$.
Aus dem Satz von Matsumura \ref{matsumura}
folgt also \[\p_1\in\ass(M/aM)\underset{(a)}{\overset{\ref{mischtkor}}=}(\ass(M/aM))^{\min},\] was nach 2.2.19 die Bedingung
(d) impliziert.

\smallskip\noindent
Um schließlich ein $a\in R$ mit (c) zu finden, ist nach 2.2.5 zu zeigen, dass $\p_1\not\subseteq\bigcup\ass M\overset{\ref{mischtkor}}=
\bigcup((\ass M)^{\min})$. Wäre $\p_1\subseteq\bigcup((\ass M)^{\min})$, so gäbe es wegen der aus 2.2.19 folgenden Endlichkeit von
$\ass M$ nach 1.3.4(c) ein $\q\in(\ass M)^{\min}$ mit $\p_1\subseteq\q$ im Widerspruch zu $(*)$ und $\p_0\subset\p_1$.
\end{proof}

\begin{df}\label{defcmr}[$\to$\ref{defcm}]
Ein Ring heißt ein \emph{Cohen-Macaulay-Ring} (kurz: \emph{CM-Ring}), wenn er ein CM-Modul über sich selbst ist, das heißt wenn
er lokal und noethersch ist und wenn seine Tiefe als Modul über sich selbst [$\to$\ref{defdepth}] und seine
Krulldimension (als Modul über sich selbst oder als Ring [$\to$\ref{krumbem}(c)]) übereinstimmen
\end{df}

\begin{bsp}\label{ring0}
Nach \ref{krumbem}(c) und \ref{mod0} sind nulldimensionale lokale noethersche Ringe stets
CM-Ringe. Insbesondere sind Körper CM-Ringe.
\end{bsp}

\begin{kor}\label{cmrprop}\emph{[$\to$\ref{cmmprop}]}
Sei $R$ ein $CM$-Ring.
Dann ist $R$ ein Kettenring und für jede maximale
Kette $C$ in $\spec R$ gilt $\#C=(\dim R)+1$.
\end{kor}

\section{CM-Ringe und Parametersysteme}

\begin{kor}\label{grundwechsr}\emph{[$\to$\ref{grundwechs}]}
Seien $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$ und $I\subseteq\m$ ein Ideal von $R$. Dann sind
äquivalent:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $R/I$ ist ein CM-Modul über $R$.
\item $R/I$ ist ein CM-Ring.
\end{enumerate}
\end{kor}

\begin{kor}\label{cmrr}\emph{[$\to$\ref{cmdr}]}
Sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$, $d,r\in\N_0$ und $a_1,\dots,a_r$ eine Nichtnullteilerfolge
in $\m$ für den $R$-Modul $R$. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $R$ ist ein CM-Ring der Krulldimension $d$.
\item $R/(a_1,\dots,a_r)$ ist ein CM-Ring der Krulldimension $d-r$.
\end{enumerate}
\end{kor}

\begin{sat}\label{cmviapara}
Sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit Parametersystem \emph{[$\to$§2.5]} $a_1,\dots,a_n$. Dann ist $R$ genau dann ein CM-Ring, wenn
$a_1,\dots,a_n$ eine Nichtnullteilerfolge für den $R$-Modul $R$ bilden.
\end{sat}

\begin{proof}
Bilden $a_1,\dots,a_n$ eine Nichtnullteilerfolge für den $R$-Modul $R$, so gilt
\[n\overset{\ref{defdepth}}\le\depth R\overset{\ref{depthdim}}\le\dim R\overset{2.5.1}=n\]
und daher $\depth R=\dim R$, was gemäß Definition \ref{defcmr} bedeutet, dass $R$ ein CM-Ring ist.
Für die umgekehrte Richtung führen wir Induktion nach $n\in\N_0$:

\smallskip\noindent
\underline{$n=0$}\quad $\checkmark$

\smallskip\noindent
\underline{$n-1\to n\quad (n\in\N)$}\quad Sei $R$ ein CM-Ring. Zu zeigen ist gemäß Bemerkung \ref{nnfbem}(a):
\begin{enumerate}[(a)]
\item $a_1$ ist kein Nullteiler für den $R$-Modul $R$.
\item $a_2,\dots,a_n$ bilden eine Nichtnullteilerfolge für den $R$-Modul $R/a_1R$.
\end{enumerate}
Wir zeigen (a) mittels 2.2.5.
Sei hierzu $\p\in\ass M$. Zu zeigen ist $a_1\notin\p$. Nach dem Ungemischtheitssatz \ref{mischt} gilt $\dim(R/\p)=n$, 
weshalb die Restklassen von $a_1,\dots,a_n$ in $R/\p$ ein Parametersystem für den lokalen
noetherschen Ring $R/\p$ bilden, wie man leicht sieht. Nach 2.5.4(e) gilt insbesondere $\dim((R/\p)/(\overline{a_1}))=n-1$, was unmöglich
mit $a_1\in\p$ vereinbar wäre.

\smallskip\noindent
Nun zeigen wir (b). Nach Korollar \ref{cmrr} und (a)
ist $R/(a_1)$ ein CM-Ring der Krulldimension $n-1$ und die Restklassen von $a_2,\dots,a_n$
bilden nach 2.5.4(e) ein Parametersystem davon. Mit Induktionsvoraussetzung folgt, dass die Restklassen von $a_2,\dots,a_n$ in $R/(a_1)$
eine Nichtnullteilerfolge für den $R/(a_1)$-Modul $R/(a_1)$ bilden. Daraus folgt (b) mit Bemerkung \ref{nnfbem}(b).
\end{proof}

\section{Lokalisierung von CM-Ringen}

\begin{sat} Sei $M$ ein CM-Modul und $\p\in\supp M$. Dann ist auch $M_\p$ ein CM-Modul.
\end{sat}

\begin{proof}
Wir bemerken vorweg, dass mit dem $R$-Modul $M$ auch der $R_\p$-Modul $M_\p$ nach 1.2.12(e) endlich erzeugt ist.
Weiter ist mit dem Ring $R$ nach 1.2.12(f) auch der Ring $R_\p$ noethersch. Beachte auch, dass
$R_\p$ nach 1.2.23 lokal mit maximalem Ideal $\p_\p$ ist.
Wegen $\ref{dimdim}$ gilt $\dim(R/\p)\le k:=\dim M<\infty$. Wir führen Induktion nach $k$:

\smallskip\noindent
\underline{$k=\dim(R/\p)$}\quad
Es gilt offenbar $\p\in(\supp M)^{\min}$. Nach 2.2.16 folgt daraus \[\p_\p\in(\supp M_\p)^{\min}.\] Nach 2.2.13 ist somit
$\p_\p$ ein minimales Primoberideal von $\ann(M_\p)$. Weil $\p_\p$ das maximale Ideal des lokalen Ringes $R_\p$ ist, ist
$\p_\p$ sogar das einzige Primoberideal von $\ann(M_\p)$. Nach 2.2.13 gilt also $\supp(M_\p)=\{\p_\p\}$ und es folgt mit \ref{dimdim}
\[\dim M_\p=\dim(R_\p/\p_\p)\overset{2.1.2(b)}=0,\] womit nach \ref{mod0} $M_\p$ ein CM-Modul ist.

\smallskip\noindent
\underline{$k-1\to k\quad (k\in\N,\ k>\dim(R/\p))$}\quad
Nach dem Ungemischtheitssatz \ref{mischt} gilt \[\dim M=\dim(R/\q)\] für alle $\q\in\ass M$,
während  $\dim M=k>\dim(R/\p)$ gilt. Also ist $\p$ in keinem der nach 2.2.18 nur endlich vielen zu $M$ assoziierten
Primideale enthalten. Mit 1.3.4(c) folgt $\p\not\subseteq\bigcup\ass M$. Nach 2.2.5 gibt es also ein $a\in\p$, welches kein Nullteiler
für $M$ ist. Nach \ref{cmdr} ist $M/aM$ ein CM-Modul der Dimension $(\dim M)-1$. Wir wollen die Induktionsvoraussetzung auf
$M/aM$ und $\p$ anwenden und zeigen dazu $\p\in\supp(M/aM)$:
Es gilt $\ann M+(a)\subseteq\p$ und daher nach \ref{nmm} sogar $\ann(M/aM)\subseteq\p$. Nach 2.2.13 gilt also tatsächlich
$\p\in\supp(M/aM)$. Nach Induktionsvoraussetzung ist somit
\[(M/aM)_\p\overset{1.2.13}\cong M_\p/(aM)_\p=M_\p/{\textstyle\frac a1}M_\p\] ein CM-Modul.
Nun ist $\frac a1\in\p_\p$ nach \ref{nntlocal} kein Nullteiler für $M_\p$, weshalb $M_\p$ nach \ref{cmdr} ein CM-Modul ist.
\end{proof}

\begin{kor}
Lokalisierungen von CM-Ringen nach Primidealen sind wieder CM-Ringe.
\end{kor}

\section{Reguläre lokale Ringe sind Integritätsringe}

\begin{sprech} Sei $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $\m$ und $M$ ein $R$-Modul. Dann ist $M/\m M$ in natürlicher Weise
ein $R/\m$-Vektorraum. Wir nennen diesen den \emph{Restklassenraum} von $M$.
\end{sprech}

\begin{pro}\label{nakaconc}
Sei $R$ ein lokaler Ring, $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul und $x_1,\dots,x_n\in M$. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $M$ wird durch $x_1,\dots,x_n$ erzeugt.
\item Der Restklassenraum von $M$ wird durch die Restklassen der $x_1,\dots,x_n$ erzeugt.
\end{enumerate}
\end{pro}

\begin{proof}
(a)$\implies$(b) ist trivial. Für (b)$\implies$(a) benutzen wir die zweite Fassung 1.1.21 des Nakayama-Lemmas: Gelte (b). Dann gilt
für $N:=M/\sum_{i=1}^nRx_i$, dass $\m N=N$, wobei $\m$ das maximale Ideal von $R$ bezeichne, und daher $N=0$, da mit $M$ auch $N$
endlich erzeugt ist. Also $M=\sum_{i=1}^nRx_i$.
\end{proof}

\begin{sprech}\label{basisch}
Sei $M$ ein $R$-Modul. Wir sagen, dass $x_1,\dots,x_n\in M$ ein
\emph{minimales Erzeugendensystem} von $M$ bilden, wenn $x_1,\dots,x_n$ ein Erzeugendensystem von $M$ bilden, aber
$x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_n$ für kein $i\in\{1,\dots,n\}$ ein Erzeugendensystem von $M$ bilden.
Wir nennen ein Element $x\in M$ \emph{basisch}, wenn es $x_1,\dots,x_n\in M$ gibt so, dass $x,x_1,\dots,x_n$ ein minimales
Erzeugendensystem von $M$ bilden.
\end{sprech}

\begin{bsp}\label{vrbsp}
Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann bilden $x_1,\dots,x_n\in V$ genau dann ein
\emph{minimales Erzeugendensystem} von $V$, wenn sie eine Basis von $V$ bilden [$\to$LA6.2.1(c)].
Weiter ist wegen des Basisergänzungssatzes [$\to$LA6.2.20] ein Element $x\in V$ genau dann basisch, wenn $V$
endlichdimensional [$\to$LA6.2.25(c)] im Sinne der linearen Algebra ist und $x\ne0$ gilt.
\end{bsp}

\begin{sat}\label{locnaka}
Sei $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $\m$ und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann gilt:
\begin{enumerate}[(a)]
\item Elemente $x_1,\dots,x_n\in M$ bilden genau dann ein minimales Erzeugendensystem von $M$, wenn ihre Restklassen eine Basis
des Restklassenraumes von $M$ bilden.
\item Es gibt ein minimales Erzeugendensystem $x_1,\dots,x_n$ von $M$ und für jedes solche ist $n$ stets die Vektorraumdimension des Restklassenraumes von $M$.
\item Ein Element $x\in M$ ist genau dann basisch, wenn $x\notin\m M$.
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof}
\ref{nakaconc}, \ref{basisch}, \ref{vrbsp}
\end{proof}

\begin{df} Sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$. Dann nennt man
\[\edim R:=\min\{n\in\N_0\mid\exists a_1,\dots,a_n\in\m:\m=(a_1,\dots,a_n)\}\in\N_0\]
die \emph{Einbettungsdimension} von $R$.
\end{df}

\begin{sat}\label{noethloc}
Sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Die Einbettungsdimension von $R$ stimmt mit der Vektorraumdimension des $R/\m$-Vektorraums $\m/\m^2$ überein.
\item Die Krulldimension von $R$ ist höchstens so groß wie die Einbettungsdimension von $R$, das heißt $\dim R\le\edim R$.
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof}
(a) folgt aus \ref{locnaka}(b) und (b) aus dem Höhensatz von Krull 2.4.4.
\end{proof}

\begin{df}\label{defreg}
Ein \emph{regulärer lokaler Ring} ist ein lokaler noetherscher Ring $R$ mit $\dim R=\edim R$.
\end{df}

\begin{bem}\label{regnull}
Die nulldimensionalen regulären lokalen Ringe sind genau die Körper.
\end{bem}

\begin{sat}\label{regringsat}
Sei $R$ ein regulärer lokaler Ring mit maximalem Ideal $\m$ und $a\in\m\setminus\m^2$. Dann ist
$R/(a)$ wieder ein regulärer lokaler Ring ist mit $(\dim R/(a))+1=\dim R$.
\end{sat}

\begin{proof}
Es ist $a$ nach Voraussetzung ein basisches Element des $R$-Moduls $\m$, weswegen es $a_1,\dots,a_n\in\m$ gibt derart, dass
$a,a_1,\dots,a_n$ ein minimales Erzeugendensystem des $R$-Moduls $\m$ bilden. Es gilt nun
\[1+n\overset{\ref{locnaka}(b)}=\edim R\overset{\ref{defreg}}=\dim R.\]
Betrachte den kanonischen Epimorphismus $R\to R/\m,\ a\mapsto\overline a$. Nach 1.3.7 ist $R/(a)$ ein lokaler noetherscher Ring
mit maximalem Ideal $\m/Ra=(\overline a_1,\dots,\overline a_n)$. Es gilt also
\begin{multline*}
n=(\dim R)-1\overset{2.1.4(a)}=(\height\m)-1\overset{2.4.6}\le\height(\m/Ra)\\
\overset{2.1.4(a)}=\dim(R/(a))\overset{\ref{noethloc}(b)}\le\edim(R/(a))\le n
\end{multline*}
\end{proof}

\begin{lem}\label{techlem1}
Sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$ und es gebe ein Hauptideal in $(\spec R)\setminus(\spec R)^{\min}$.
Dann ist $R$ ein Integritätsring.
\end{lem}

\begin{proof}
Wähle $a\in R$ mit $(a)\in(\spec R)\setminus(\spec R)^{\min}$. Dann gilt natürlich $a\in\m$.
Wegen $(a)\in\spec R$ können wir gemäß 1.3.5 $\p\in(\spec R)^{\min}$ mit $\p\subseteq(a)$ wählen. 
Wegen $(a)\notin(\spec R)^{\min}$ gilt $a\notin\p$.
Zu zeigen ist $\p=(0)$.
Nach der zweiten Fassung 1.1.21 des Nakayama-Lemmas reicht es zu zeigen, dass $\m\p=\p$.
Sei also $b\in\p$. Zu zeigen ist $b\in\m\p$. Wegen $\p\subseteq(a)$ gibt es $c\in R$ mit $b=ca$. Wegen $a\in\m$ reicht es $b\in\p$
zu zeigen. Dies folgt aber aus $ca=b\in\p$ und $a\notin\p$.
\end{proof}

\begin{lem}\label{techlem2}
Sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\m$ und $\dim R>0$. Dann gilt
\[\m\not\subseteq\m^2\cup\bigcup(\spec R)^{\min}.\]
\end{lem}

\begin{proof}
Als noetherscher Ring besitzt $R$ nach 2.2.22 nur endlich viele minimale Primideale. Nach 1.3.4(c) reicht es daher zu zeigen, dass
$\m\not\subseteq\m^2$ und $\m\not\subseteq\p$ für alle $\p\in(\spec R)^{\min}$. Aus $\dim R>0$ folgt aber sogar
$\m^2\subset\m$ und $\p\subset\m$ für alle $\p\in(\spec R)^{\min}$, denn letzteres folgt sofort aus $\dim R>0$ und ersteres sieht man wie
folgt: Wäre $\m=\m^2$, so folgte aus der zweiten Fassung 1.1.21 des Nakayama-Lemmas $\m=(0)$ ebenfalls im Widerspruch zu
$\dim R>0$.
\end{proof}

\begin{sat}\label{reglocisint}
Reguläre lokale Ringe sind Integritätsringe.
\end{sat}

\begin{proof}
Wir zeigen durch Induktion nach $n\in\N_0$, dass alle regulären lokalen Ringe $R$ mit $\dim R=n$ Integritätsringe sind.

\smallskip\noindent
\underline{$n=0$}\quad ist klar nach \ref{regnull}.

\smallskip\noindent
\underline{$n-1\to n\quad (n\in\N)$}\quad Sei $R$ ein regulärer lokaler Ring mit maximalem Ideal $\m$ und
$\dim R=n$. Wegen $n\ge1$ können wir nach Lemma
\ref{techlem2} ein \[a\in\m\setminus\left(\m^2\cup\bigcup(\spec R)^{\min}\right)\] wählen.
Lemma \ref{regringsat} besagt, dass $R/(a)$ wieder ein regulärer lokaler Ring ist
mit $\dim(R/(a))=n-1$. Nach Induktionsvoraussetzung ist daher $R/(a)$ ein Integritätsring und daher $(a)$ ein Primideal.
Da ausserdem $(a)$ in keinem minimalen Primideal enthalten ist, haben wir sogar
$(a)\in(\spec R)\setminus(\spec R)^{\min}$. Nach Lemma \ref{techlem1} ist also $R$ ein Integritätsring.
\end{proof}

\begin{sat}\label{reglociscm}
Reguläre lokale Ringe sind CM-Ringe.
\end{sat}

\begin{proof}
Wir zeigen durch Induktion nach $n\in\N_0$, dass alle regulären lokalen Ringe $R$ mit $\dim R=n$ ~CM-Ringe sind.

\smallskip\noindent
\underline{$n=0$}\quad ist klar nach \ref{ring0}.

\smallskip\noindent
\underline{$n-1\to n\quad (n\in\N)$}\quad Sei $R$ ein regulärer lokaler Ring mit maximalem Ideal $\m$ und
$\dim R=n$. Wegen $n\ge1$ können wir nach Lemma
\ref{techlem2} ein $a\in\m\setminus\m^2$ wählen, was wegen $a\ne0$ nach Satz \ref{reglocisint} natürlich kein Nullteiler in $R$ ist.
Lemma \ref{regringsat} besagt, dass $R/(a)$ wegen $a\in\m^2\setminus\m$ wieder ein regulärer lokaler Ring ist
mit $\dim(R/(a))=n-1$. Nach Induktionsvoraussetzung ist daher $R/(a)$ ein CM-Ring.
Mit \ref{cmrr} ist dann auch $R$ ein CM-Ring.
\end{proof}

\section{Lokalisierung von Polynomringen}

\begin{lem}\label{localx}
Sei $R$ ein regulärer lokaler Ring mit maximalem Ideal $\m$ und $\p$ ein Primideal des Polynomrings $R[X]$ so, dass
$\p\cap R=\m$. Dann ist auch $R[X]_\p$ ein regulärer lokaler Ring.
\end{lem}

\begin{proof}
Mit $R$ ist auch $R[X]$ noethersch nach dem Hilbertschen Basissatz [$\to$A2.7.8] und damit auch $R[X]_\p$ nach 1.2.12(f).
Es ist $R[X]_\p$ lokal mit maximalem Ideal $\p_\p$ nach 1.2.23. Gemäß \ref{defreg} bleibt zu zeigen $\dim(R[X]_\p)=\edim(R[X]_\p)$.
Wir zeigen dazu, dass es $n\in\{d,d+1\}$ gibt mit
\[n\le\dim(R[X]_\p)\overset{\ref{noethloc}(b)}\le\edim(R[X]_\p)\le n,\]
wobei $d:=\dim R=\edim R\in\N_0$.
Hierzu reicht es offenbar zu zeigen, dass es $n\in\{d,d+1\}$ gibt mit
\begin{equation}\tag{$*$}\label{nachweis}
\height\p\ge n~\et~\exists p_1,\ldots,p_n\in R[X]:\p=(p_1,\dots,p_n).
\end{equation}
Für jedes Ideal $I$ von $R$ bezeichne $(I)_{R[X]}$ das davon erzeugte Ideal in $R[X]$, welches offensichtlich gerade aus den Polynomen
mit Koeffizienten aus $I$ besteht und für welches daher $(I)_{R[X]}\cap R=I$ gilt. Ist $I\in\spec R$, so gilt offensichtlich
$(I)_{R[X]}\in\spec R[X]$, denn wir haben eine kanonische Ringisomorphie $R[X]/(I)_{R[X]}\cong(R/I)[X]$ und $(R/I)[X]$ ist als
Polynomring über dem Integritätsring $R/I$ wieder ein Integritätsring. 
Wegen $\dim R=d$ können wir $\p_0,\dots,\p_d\in\spec R$ wählen mit $\p_0\subset\p_1\subset\ldots\subset\p_d=\m$.
Es gilt dann offensichtlich
$(\p_0)_{R[X]}\subset(\p_1)_{R[X]}\subset\ldots\subset(\p_d)_{R[X]}$.
Weiter können wir wegen $\edim R=d$ Elemente $a_1,\dots,a_d\in R$ mit $\m=(a_1,\dots,a_d)$ wählen.
Offensichtlich wird dann das Ideal $\p=(\m)_{R[X]}$ in $R[X]$ ebenfalls von $a_1,\dots,a_d$ erzeugt.
Gilt nun $\p=(\m)_{R[X]}$, so sieht man sofort, dass \eqref{nachweis} für $n:=d$ gilt.
Gelte also von nun an $\p\ne(\m)_{R[X]}$. Dann zeigen wir, dass \eqref{nachweis} für $n:=d+1$ gilt.
Wegen $\m=\p\cap R\subseteq\p$ gilt $(\m)_{R[X]}\subset\p$. Somit
\[(\p_0)_{R[X]}\subset(\p_1)_{R[X]}\subset\ldots\subset(\p_d)_{R[X]}=(\m)_{R[X]}\subset\p\] und daher $\height\p\ge d+1$.
Betrachte nun den kanonischen Ringepimorphismus \[\ph\colon R[X]\to(R/\m)[X],\]
dessen Kern $(\m)_{R[X]}$ in $\p$ enthalten ist, weswegen $\p=\ph^{-1}(\ph(\p))$ gilt.
Da $R/\m$ ein Körper ist, ist $(R/\m)[X]$ ein Hauptidealring [$\to$LA10.2.2]. Daher ist das Ideal $\ph(\p)$ ein
Hauptideal in $(R/\m)[X]$. Wegen der Surjektivität von $\ph$ können wir also $p\in R[X]$ wählen mit
$\ph(\p)=(\ph(p))$. Dann ist das Bild des von $p$ in $R[X]$ erzeugten Hauptideals gleich $\ph(\p)$ und daher
$\p=\ph^{-1}(\ph(\p))=(p)+\ker\ph=(p)+(\m)_{R[X]}=(p,a_1,\dots,a_d)$.
\end{proof}

\begin{lem}\label{globalx}
Sei $R$ ein Ring und $\p$ ein Primideal des Polynomrings $R[X]$ so, dass $R_{\p\cap R}$ ein regulärer lokaler Ring ist. Dann
ist auch $R[X]_\p$ ein regulärer lokaler Ring.
\end{lem}

\begin{proof}
Betrachte die multiplikative Menge $S:=R\setminus\p$ in $R$. Dies ist auch eine multiplikative Menge in $R[X]$ und man
sieht leicht, dass man einen kanonischen Ringisomorphismus \[\ph\colon(S^{-1}R)[X]\overset\cong\to S^{-1}(R[X])\] hat
[$\to$LA3.2.13, A2.2.7, A2.3.7, 1.2.3]. Wegen $\p\cap S=\emptyset$ ist $S^{-1}\p$ nach 1.2.19 ein Primideal von $S^{-1}(R[X])$
und damit $\q:=\ph^{-1}(S^{-1}\p)$ ein Primideal von $(S^{-1}R)[X]$. Es gilt nun
\[
((R_{\p\cap R})[X])_\q\underset{R_{\p\cap R}=S^{-1}R}{\overset{\p\cap R\in\spec R}=}((S^{-1}R)[X])_\q\overset{\text{$\ph$ Iso.}}\cong(S^{-1}(R[X]))_{S^{-1}\p}
\underset{\p\cap S=\emptyset}{\overset{2.2.14}\cong}R[X]_\p.\]
Da $R_{\p\cap R}$ nach 1.2.23 ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $(\p\cap R)_{\p\cap R}$ ist und
\begin{equation}\tag{$*$}\label{nachweis}
\q\cap R_{\p\cap R}=(\p\cap R)_{\p\cap R}
\end{equation}
gilt, wie wir gleich nachprüfen werden, ist der linksstehende Ring nach Lemma \ref{localx} ein regulärer lokaler Ring und damit auch der dazu isomorphe rechtsstehende Ring. Für den Nachweis von $\eqref{nachweis}$ reicht es zu beobachten, dass
\[
\frac as\in\q\iff\ph\left(\frac as\right)\in S^{-1}\p\iff\frac as\in S^{-1}\p\\\iff\exists t\in S:ta\in\p\iff a\in\p
\]
gilt für alle $a\in R$ und $s\in S$.
\end{proof}

\begin{sat}\label{polreg}
Sei $K$ ein Körper. Ist $n\in\N_0$ und $\p\in\spec K[X_1,\dots,X_n]$, so ist $K[X_1,\dots,X_n]_\p$ ein regulärer lokaler Ring.
\end{sat}

\begin{proof}
Induktion nach $n\in\N_0$:

\smallskip\noindent
\underline{$n=0$}\quad Ist $\p\in\spec K$, so $\p=(0)$ und $K[X_1,\dots,X_n]_\p\overset{1.2.21}=\qf(K)=K$ ist ein Körper und damit
ein regulärer lokaler Ring [$\to$\ref{regnull}].

\smallskip\noindent
\underline{$n-1\to n\quad (n\in\N)$}\quad Es gilt $K[X_1,\dots,X_n]=R[X_n]$ mit $R:=K[X_1,\dots,X_{n-1}]$.
Nach Lemma \ref{globalx} reicht es daher zu zeigen, dass $R_{\p\cap R}$ ein regulärer lokaler Ring ist für alle $\p\in\spec R[X_n]$.
Dies aber klar aus der Induktionsvoraussetzung, denn $\p\cap R\in\spec R$.
\end{proof}

\begin{kor}\label{polcm}
Ist $K$ ein Körper, $n\in\N_0$ und $\p\in\spec K[X_1,\dots,X_n]$, so ist $K[X_1,\dots,X_n]_\p$ ein CM-Ring.
\end{kor}

\begin{proof}
\ref{polreg} und \ref{reglociscm}
\end{proof}

\begin{kor} Polynomringe in endlich vielen Variablen über Körpern sind Kettenringe.
\end{kor}

\begin{proof}
Sei $R$ ein solcher Polynomring. Nach dem Hilbertschen Basissatz [$\to$A2.7.9, AAG1.1.21] ist $R$ dann noethersch.
Aus Definition \ref{defkette} ersieht man zusammen mit 1.2.20 jetzt
sofort, dass es reicht zu zeigen, dass jede Lokalisierung von $R$ nach einem Primideal ein Kettenring ist.
Nach \ref{polcm} ist aber eine solche Lokalisierung sogar ein CM-Ring und damit nach \ref{cmrprop} ein Kettenring.
\end{proof}

\end{document}