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\begin{document}
\noindent
Universität Konstanz\hfill Zahlentheorie\\
Fachbereich Mathematik und Statistik\hfill Sommersemester 2015\\
Markus Schweighofer
\medskip
\hrule
\begin{center}
\section*{§3.2 Zerlegung von Primzahlen in Zahlkörpern}
\setcounter{chapter}{3}
\setcounter{section}{2}
\end{center}
\hrule

\bigskip
\begin{bem}\label{motiv}
Ein wesentlicher Grund für die Betrachtung von Gittern und vor allem multiplikativen Gittern ist, dass sie oftmals "`einfacher"' sind als der Zahlring (zum Beispiel ist für $d\in\squarefree_1$ das multiplikative Gitter $\Z[\sqrt d]$ "`einfacher"' als $\Z[\frac{1+\sqrt d}2]=\O_d$)
und für gewisse Zwecke doch den Zahlring ersetzen können. Siehe Teile (b) und (c) dieser Bemerkung und Satz \ref{ganz} unten. Seien $K$ ein Zahlkörper und $x_1,\dots,x_n$ eine $\Z$-Basis von $\O_K$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Sei $I\ne(0)$ ein Ideal von $\O_K$. Nach Lemma 2.5.3 gilt $I\cap\Z\ne(0)$, das heißt es gibt ein eindeutig bestimmtes $m\in\N$
mit $I\cap\Z=(m)$. Insbesondere gilt $m\O_K\subseteq I$ und man kann $I$ sehen als $m$ zusammen mit dem Bild von $I$ unter
$\O_K\to\O_K/m\O_K$ [$\to$A2.4.11]. Ein Ideal $\ne(0)$ des Zahlrings $\O_K$ ist also gegeben durch eine natürliche Zahl $m$ und ein Ideal des endlichen Rings $\O_K/m\O_K=(\Z x_1\oplus\dots\oplus\Z x_n)/(m\Z x_1+\dots+m\Z x_n)$, dessen additive Gruppe in natürlicher Weise ein freier $\Z/m\Z$-Modul mit Basis $\overline{x_1},\dots,\overline{x_n}$ ist. Insbesondere ist $\O_K/I$ endlich mit $\#(\O_K/I)\mid m^n$.
\item Sei $m\in\N$. In Anbetracht von (a) ist der $m^n$-elementige Ring $\O_K/m\O_K$ von besonderem Interesse. Um diesen zu kennen, braucht man aber den Zahlring $\O_K$ oft gar nicht genau zu kennen. Es reicht, ein multiplikatives Gitter $M$ in $K$ zu kennen mit
\underline{\underline{$(m,[\O_K:M])=(1)$}}. Dann gibt es $s,t\in\Z$ mit $sm+t[\O_K:M]=1$. Für jedes $x\in\O_K$ gilt dann
\[x=1\cdot x=s\underbrace{mx}_{\in m\O_K}+t\underbrace{[\O_K:M]x}_{\in M},\]
weshalb der kanonische Homomorphismus
$M/mM\to\O_K/m\O_K$ surjektiv ist. Wegen $\#(M/mM)\overset{\text{$M$ Gitter}}=m^n=\#(\O_K/m\O_K)$ ist dieser auch injektiv und wir haben eine kanonische Isomorphie
\[M/mM\cong\O_K/m\O_K.\]
\item Wir spezialisieren das unter (a) und (b) Gesagte auf Primideale. Sei $\p\in M_{\O_K}$. Dann gibt es genau ein $p\in\P$ mit $\p\cap\Z=(p)$.
Insbesondere $p\O_K\subseteq\p$ und man kann $\p$ sehen als $p$ zusammen mit dem Bild von $\p$ unter $\O_K\to\O_K/p\O_K$. Ein
Primideal $\ne(0)$ des Zahlrings $\O_K$ ist also gegeben durch eine Primzahl $p$ und ein Primideal des endlichen Ringes $\O_K/p\O_K$,
dessen additive Gruppe in natürlicher Weise ein $\F_p$-Vektorraum mit Basis $\overline{x_1},\dots,\overline{x_n}$ ist. Insbesondere
ist $\#(\O_K/\p)\in\{p,p^2,\dots,p^n\}$. Ist $M$ ein multiplikatives Gitter in $K$ mit \underline{\underline{$p\nmid[\O_K:M]$}}, so gilt kanonisch
$M/pM\cong\O_K/p\O_K$.
\item Nach dem Satz vom primitiven Element [$\to$A4.5.16] gibt es $a\in K$ mit $K=\Q(a)$. Wegen $K=(\Z\setminus\{0\})^{-1}\O_K$
kann man leicht $a\in\O_K$ wählen. Dann ist $\Z[a]$ ein multiplikatives Gitter in $K$. Setze $f:=\irr_\Q(a)\in\Q[X]$. Nach 2.1.14 gilt
$f\in\Z[X]$. Da $f$ normiert ist, gilt $f\Q[X]\cap\Z[X]=f\Z[X]$ (benutze zum Beispiel das Lemma von Gauß [$\to$A2.5.9(a)]). Daher
kanonisch $\Z[X]/(f)\hookrightarrow\Q[X]/(f)$. Bezeichne $\Z[X]\to\F_p[X],\ g\mapsto\overline g$ den Homomorphismus mit
$\overline m=\overline m^{\underset{(p)}{}}$ ($m\in\Z$) und $\overline X=X$ [$\to$A2.2.7]. Dann liegt $\overline f$ im Kern des
Epimorphismus $\F_p[X]\to\Z[a]/p\Z[a]$ mit $X\mapsto\overline a$. Da $f$ normiert ist, gilt $\deg\overline f=\deg f=n$ und daher
$\#(\F_p[X]/(\overline f))=p^n\overset{\text{$\Z[a]$ Gitter}}=\#(\Z[a]/p\Z[a])$. Daher haben wir $\F_p[X]/(\overline f)\underset{\overline X\mapsto\overline a}{\overset\cong\to}\Z[a]/p\Z[a]$. Falls \underline{\underline{$p\nmid[\O_K:\Z[a]]$}}, so haben wir auch noch kanonisch
$\Z[a]/p\Z[a]\cong\O_K/p\O_K$ und es ergibt sich folgendes kommutative Diagramm:
\[
\shorthandoff{"} % because of clash with ngerman option of babel
\begin{tikzcd}[row sep=1em]
\Q[X]/(f) \arrow[r, "\cong", "\overline X\mapsto a" below]&K&\\
&&\O_K\arrow[ddd, two heads]\arrow[hook]{lu}[sloped,description]{\supseteq}\\
\Z[X]/(f) \arrow[r, "\cong", "\overline X\mapsto a" below] \arrow[dd, two heads] \arrow[uu, hook]&\Z[a]\arrow[dd, two heads]
\arrow[hook]{ru}[description,sloped]{\subseteq}\\
\\
\F_p[X]/(\overline f) \arrow[r, "\cong", "\overline X\mapsto \overline a" below]&\Z[a]/p\Z[a]\arrow[r,"\overset{p~\nmid~[\O_K:\Z[a]]}{\overset\Downarrow\cong}"]&\O_K/p\O_K
\end{tikzcd}
\]
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{sat}\label{ganz}
Seien $K=\Q(a)$ ein Zahlkörper, $a$ ganz über $\Z$, $p\in\P$ mit \underline{\underline{$p\nmid[\O_K:\Z[a]]$}}, $f:=\irr_\Q(a)\in\Z[X]$,
$m\in\N$, $g_1,\dots,g_m\in\Z[X]$ und $\al_1,\dots,\al_m\in\N$ mit \[\overline f=\overline{g_1}^{\al_1}\dotsm\overline{g_m}^{\al_m}
\qquad\text{in $\F_p[X]$},\]
wobei $\overline{g_1},\dots,\overline{g_m}$ paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome in $\F_p[X]$ seien.
Dann ist
$\p_i:=g_i(a)\O_K+p\O_K$ für jedes $i\in\{1,\dots,m\}$ ein Primideal von $\O_K$ mit Trägheitsindex $f_\Z(\p_i)=\deg\overline{g_i}$,
$\p_1,\dots,\p_m$ sind paarweise verschieden und es gilt \[p\O_K=\p_1^{\al_1}\dotsm\p_m^{\al_m}.\]
\end{sat}

\begin{proof}
Da $\F_p[X]$ ein Hauptidealring ist, sind die verschiedenen Primideale darin, die $(\overline f)$ enthalten, genau die
$(\overline{g_1}),\dots,(\overline{g_m})$. Gemäß der letzten Zeile des Diagramms von \ref{motiv}(d) sind deren Bilder
$(\overline{g_1(a)}),\dots,(\overline{g_m(a)})$
unter \[\ph\colon\F_p[X]\to\O_K/p\O_K,\ \overline X\mapsto\overline a\] genau die verschiedenen Primideale von $\O_K/p\O_K$. Daher sind
$\p_1,\dots,\p_m$ als deren Urbilder unter $\O_K\to\O_K/p\O_K$ genau die verschiedenen Primideale von $\O_K$, die $(p)$ enthalten.
Mit \[e_i:=e_\Z(\p_i)\qquad\text{und}\qquad f_i:=f_\Z(\p_i)\qquad\text{für }i\in\{1,\dots,m\}\] folgt nach 2.7.5
$e_1,\dots,e_m,f_1,\dots,f_m\in\N$,
\[p\O_K=\p_1^{e_1}\dotsm\p_m^{e_m}\qquad\text{und}\qquad\sum_{i=1}^me_if_i=n:=[K:\Q]=\deg f=\deg\overline f.\] Es gilt
$f_i=[\O_K/(g_i(a)\O_K+p\O_K):\F_p]$ und \[\O_K/(g_i(a)\O_K+p\O_K)\cong(\O_K/p\O_K)/(\overline{g_i(a)})\cong\F_p[X]/(\overline{g_i})\]
als Ring und somit als abelsche Gruppe, das heißt als $\Z$-Modul, also auch als $\Z/(p)$-Modul, das heißt als $\F_p$-Vektorraum.
Somit $f_i=\deg\overline{g_i}$. Wendet man $\ph$ auf die Gleichung $\overline f=\overline{g_1}^{\al_1}\dotsm\overline{g_m}^{\al_m}$ an, so erhält
man $\overline{g_1(a)}^{\al_1}\dotsm\overline{g_m(a)}^{\al_m}=0$ in $\O_K/p\O_K$, also $\p_1^{\al_1}\dotsm\p_m^{\al_m}\subseteq
p\O_K$, das heißt \[1\le e_i=\widetilde v_{\p_i}(p\O_K)\overset{2.6.4(a)}\le\al_i\] für alle $i\in\{1,\dots,m\}$. Es folgt
$n\overset{2.7.5(a)}=\sum_{i=1}^me_if_i\le\sum_{i=1}^m\al_if_i=\sum_{i=1}^m\al_i\deg(\overline{g_i})=n$ und daher $e_i=\al_i$ für alle
$i\in\{1,\dots,m\}$.
\end{proof}

\begin{bem}\label{norm}
Sei $K=\Q(a)$ ein Zahlkörper, $a$ ganz über $\Z$, $f:=\irr_\Q(a)$ und $p\in\P$ mit $p^2\nmid N_{K|\Q}(f'(a))$. Dann
\underline{\underline{$p\nmid[\O_K:\Z[a]]$}}, denn \[|N_{K|\Q}(f'(a))|\overset{2.4.22}=|d(\Z[a])|\overset{3.1.7}=[\O_K:\Z[a]]^2|d(\O_K)|.\]
\end{bem}

\begin{bsp} Sei $d\in\squarefree$, $p\in\P$ und $K:=\Q(\sqrt d)$. Da $K|\Q$ eine Galoiserweiterung vom Grad $2$ ist, tritt nach 2.7.6
genau einer der folgenden Fälle ein:
\begin{itemize}
\item $p\O_K=\q^2$ mit $\q\in M_{\O_K}$ ("`$p$ \underline{verzweigt} in $K$"') und $\O_K/\q\cong\F_p$
\item $p\O_K\in M_{\O_K}$ ("`$p$ \underline{träge} in $K$"') und $\O_K/p\O_K\cong\F_{p^2}$
\item $p\O_K=\q_1\q_2$ mit $\q_1,\q_2\in M_{\O_K}$ und $\q_1\ne\q_2$ ("`$p$ \underline{zerlegt} in $K$"') und
\[\O_K/\q_1\cong\O_K/\q_2\cong\F_p.\]
\end{itemize}
Setze $f:=\irr_\Q(\sqrt d)$. Nach 2.4.22 gilt $N_{K|\Q}(f'(\sqrt d))=(\sqrt d-(-\sqrt d))((-\sqrt d)-\sqrt d)=-4d$, also
$p^2\nmid N_{K|\Q}(f'(\sqrt d))$ für alle $p\in\P\setminus\{2\}$. Nach \ref{norm} können wir für $p\in\P\setminus\{2\}$ also \ref{ganz}
mit $a:=\sqrt d$ anwenden. Für $p=2$ können wir im Fall $d\in\squarefree_{2,3}$ wegen $\O_K=\Z[\sqrt d]$ immer noch $a:=\sqrt d$
setzen, während wir im Fall $d\in\squarefree_1$ die kompliziertere Wahl $a:=\frac{1+\sqrt d}2$ treffen müssen (beachte $\Q(\sqrt d)=
\Q(\frac{1+\sqrt d}2)$).

\newpage
\begin{enumerate}[label = \underline{Fall \arabic*}]
\item $p\in\P\setminus\{2\}$

Setze $a:=\sqrt d$, $f:=\irr_\Q(a)=X^2-d$.

\begin{enumerate}[label = \underline{Fall 1.\arabic*}]
\item $\overline d$ ist ein Quadrat in $\F_p$.

Wähle $c\in\Z$ mit $\overline d=\overline c^2$ in $\F_p$. Dann $\overline f=(X-\overline c)(X+\overline c)$ in $\F_p[X]$.

\begin{enumerate}[label = \underline{Fall 1.1.\arabic*}]
\item $p\mid d$

$\overline c=\overline d=0$ und $\overline f=X^2$ in $\F_p[X]$\\
$p\O_K={\underbrace{(\sqrt d,p)}_{\in M_{\O_K}}}^2$ $\leadsto$ \underline{verzweigt}

\item $p\nmid d$

$\overline c\ne0$, da $\overline d\ne0$ in $\F_p$\\
$\overline c\ne-\overline c$ in $\F_p$, da $\overline 2\in\F_p^\times$ (beachte $p\ne2$)\\
$p\O_K=\underbrace{(\sqrt d-c,p)}_{\in M_{\O_K}}\underbrace{(\sqrt d+c,p)}_{\in M_{\O_K}}$ $\leadsto$ \underline{zerlegt}
\end{enumerate}

\item $\overline d$ ist kein Quadrat in $\F_p$.

Dann $\overline f$ irreduzibel in $\F_p[X]$, also nach \ref{ganz} \quad $p\O_K\in M_{\O_K}$.
$\leadsto$ \underline{träge}
\end{enumerate}

\item $p=2$

\begin{enumerate}[label = \underline{Fall 2.\arabic*}]
\item $d\in\squarefree_{2,3}$

Setze $a:=\sqrt d$, $f:=\irr_\Q(a)=X^2-d$.

$\overline f=X^2-\overline d=X^2-\overline d^2=(X-\overline d)(X+\overline d)=(X-\overline d)^2$
in $\F_2[X]$,\\also nach \ref{ganz} \quad $2\O_K={\underbrace{(\sqrt d-d,2)}_{\in M_{\O_K}}}^2$ $\leadsto$ \underline{verzweigt}

\item $d\in\squarefree_1$

Setze $a:=\frac{1+\sqrt d}2$, $f:=\irr_\Q(a)\overset{3.1.9}{\underset{2.1.17}=}X^2-X-\frac{d-1}4$.

\begin{enumerate}[label = \underline{Fall 2.2.\arabic*}]

\item $d\equiv_{(8)}1$

$\overline f=X^2-X=X(X-1)$ in $\F_2[X]$,\\
also nach \ref{ganz} \quad
$2\O_K=\underbrace{\left(\frac{1+\sqrt d}2,2\right)}_{\in M_{\O_K}}\underbrace{\left(\frac{1-\sqrt d}2,2\right)}_{\in M_{\O_K}}$
$\leadsto$ \underline{zerlegt}

\item $d\equiv_{(8)}5$

$\overline f=X^2-X-1$ irreduzibel in $\F_2[X]$,\\
also nach \ref{ganz} \quad $2\O_K\in M_{\O_K}$
$\leadsto$ \underline{träge}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{bsp}

\end{document}