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\begin{document}
\noindent
Universität Konstanz\hfill Algorithmische Algebraische Geometrie\\
Fachbereich Mathematik und Statistik\hfill Wintersemester 2015/2016\\
Markus Schweighofer
\medskip
\hrule
\begin{center}
\section*{§2.8 Endliche Varietäten}
\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{section}{8}
\end{center}
\hrule

\bigskip\noindent
In diesem Abschnitt sei stets $C|K$ eine Körpererweiterung, $C$ algebraisch abgeschlossen und $\le$ eine Monomordnung auf $[\x]$.

\bigskip\noindent
\begin{sat}\label{finvar}
Sei $I\subseteq K[\x]$ ein Ideal. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\#V(I)<\infty$
\item $\forall i\in\{1,\dots,n\}:I\cap K[X_i]\ne(0)$
\item $\forall i\in\{1,\dots,n\}:L(I)\cap[X_i]\ne\emptyset$
\item $\dim_K(K[\x]/I)<\infty$
\item Jedes Primideal $\p$ von $K[\x]$ mit $I\subseteq\p$ ist maximal.
\item Es gibt keine irreduziblen affinen $K$-Untervarietäten $V$ und $W$ von $V(I)$ mit $V\subset W$.
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof} \underline{(a)$\implies$(b)} \OE\ $C=\overline K$. Gelte nun (a) und sei $i\in\{1,\dots,n\}$. Nach 2.7.2 definiert das 
Eliminationsideal $I\cap K[X_i]$ dann eine endliche affine $K$-Varietät $V(I\cap K[X_i])$ (denn der Zariski-Abschluss einer endlichen Menge
in $C$ ist endlich, da $C$ algebraisch über $K$ ist). Wäre $I\cap K[X_i]=(0)$, so wäre aber $V(I\cap K[X_i])=C$ unendlich, da $C$
algebraisch abgeschlossen ist [$\to$1.2.10].

\medskip\noindent
\underline{(b)$\implies$(c)} ist trivial.

\medskip\noindent
\underline{(c)$\implies$(d)} Gelte (c). Wähle eine Gröbnerbasis $G$ von $I$. Nach 2.4.7(i) sind die $K$-Vektorräume $\red(G)$
und $K[\x]/I$ isomorph. Nach 2.4.11 ist
\[\redM(G)=\{u\in[\x]\mid\nexists g\in G\setminus\{0\}:\LM(g)|u\}\]
eine Basis von $\red(G)$.
Also ist zu zeigen, dass $\redM(G)$ endlich ist. Wegen $L(I)=(\{\LM(g)\mid g\in G\setminus\{0\}\})$ und (c) gibt es aber zu jedem
$i\in\{1,\dots,n\}$ ein $g_i\in G\setminus\{0\}$ mit $\LM(g_i)\in[X_i]$. Daraus sieht man leicht $\#\redM(G)<\infty$.

\medskip\noindent
\underline{(d)$\implies$(e)} Gelte (d) und sei $\p\subseteq K[\x]$ ein Primideal mit $I\subseteq\p$. Da wir einen $K$-Vektorraumepimorphismus
$K[X]/I\twoheadrightarrow K[\x]/\p$ haben, gilt auch $\dim_K(K[\x]/\p)<\infty$. Sei nun $\m\subset K[\x]$ ein Ideal mit $\p\subseteq\m$. Zu
zeigen: $\p=\m$. Sei $f\in\m$. Da die Potenzen $\overline f^0,\overline f^1,\overline f^2,\dots$ linear abhängig in $K[\x]/\p$ sind, gibt es
$k\in\N_0$ und $a_0,\dots,a_{k-1}\in K$ mit $f^k+a_{k-1}f^{k-1}+\dots+a_0\in\p$. Dann $k\ge1$, da $1\notin\p$.
Falls $k=1$, so $f+a_0\in\p\subseteq\m$ und daher $a_0\in K\cap\m=(0)$ und somit $f\in\p$. Falls $k\ge2$, so ebenfalls $a_0\in K\cap\m
=(0)$ und somit $f(f^{k-1}+\dots+a_1)\in\p$, woraus $f\in\p$ oder $f^{k-1}+\dots+a_1\in\p$ folgt und so weiter\dots

\medskip\noindent
\underline{(e)$\implies$(f)} Man kann (e) offensichtlich auch so formulieren: Es gibt keine Primideale $\p$ und $\q$ von $K[\x]$ mit
$\sqrt I\subseteq\p\subset\q$. Mit 1.3.10 und 1.4.22 entspricht dies genau (f).

\medskip\noindent
\underline{(f)$\implies$(a)} zeigen wir durch Kontraposition: Gelte $\#V(I)=\infty$. Da $V(I)$ nur endlich viele irreduzible Komponenten hat,
gibt es dann eine irreduzible affine $K$-Untervarietät $W$ von $V(I)$ mit $\#W=\infty$ [$\to$1.4.20]. Dann muss die Projektion von $W$ auf
eine der Koordinatenachsen, ohne Einschränkung auf die letzte, auch unendlich sein, woraus $I\cap K[X_n]=(0)$ folgt. Wendet man Satz
2.7.2 auf die Körpererweiterung $\overline K|K$ an, wobei $\overline K$ den algebraischen Abschluss von $K$ bezeichnet, so folgt
$\pi(W\cap\overline K^n)\ne\emptyset$ mit $\pi:\A^n\to\A,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto x_n$. Wähle nun $a\in\pi(W\cap\overline K^n)
\subseteq\overline K$.
Wähle $f\in K[X_n]\setminus\{0\}$ mit $f(a)=0$. Dann ist $W\cap V(f)$ eine nichtleere echte affine $K$-Untervarietät von $W$ (nichtleer, da
$a\in\pi(W)$ und $f(a)=0$, und echt, da $\#\pi(W)=\infty$ und $\#\pi(W\cap V(f))<\infty$). Wähle nun eine irreduzible Komponente $V$ von
$W\cap V(f)$. Dann $V\subset W\subseteq V(f)$ und $V$ und $W$ sind irreduzibel.
\end{proof}

\begin{kor}\label{finvarkor}
Sei $G$ eine Gröbnerbasis des Ideals $I\subseteq K[\x]$. Dann gilt genau dann $\#V(I)<\infty$, wenn es für jedes $i\in\{1,\dots,n\}$ ein
$g\in G\setminus\{0\}$ gibt mit $\LM(g)\in[X_i]$.
\end{kor}

\begin{proof} Benutze 2.8.1 und 2.4.2(j).
\end{proof}

\begin{eri}
Ist $f\in C[X]$ und $a\in C$, so heißt $a$ eine \emph{mehrfache Nullstelle} von $f$, wenn $(X-a)^2\mid f$ in $C[X]$
[$\to$A4.4.4,~A4.4.10] oder äquivalent, wenn $f(a)=f'(a)=0$ [$\to$A4.4.11]. Ein Polynom $f\in C[X]$ heißt \emph{separabel}, wenn $f$
in $C$ keine mehrfachen Nullstellen hat [$\to$A4.5.1] oder äquivalent, wenn $V(f,f')=\emptyset$. Ist also $f\in K[X]$, so ist $f$ separabel
genau dann, wenn $(f,f')=(1)=K[X]$. Man nennt $K$ \emph{vollkommen}, wenn jedes irreduzible Polynom in $K[X]$ separabel ist
[$\to$A4.5.20]. Körper der Charakteristik $0$, endliche Körper und algebraisch abgeschlossene Körper sind vollkommen
[$\to$A4.5.5(a),~A4.5.22].
\end{eri}

\begin{exo}\label{exo}
Seien $A$ ein faktorieller Ring, $s\in\N_0$, $p_1,\dots,p_s$ paarweise nicht assoziierte irreduzible Elemente von $A$ und
$\al_1,\dots,\al_s\in\N$. Dann ist das Hauptideal $(p_1^{\al_1}\dotsm p_s^{\al_s})$ genau dann ein Radikalideal, wenn
$\al_1=\ldots=\al_s=1$.
\end{exo}

\begin{lem}\label{rad0}
Sei $f\in K[X]$ und $I:=(f)\subseteq K[X]$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ist $f$ separabel, so ist $I$ ein Radikalideal.
\item Ist $K$ vollkommen und $I$ ein Radikalideal, so ist $f$ separabel.
\end{enumerate}
\end{lem}

\begin{proof}
(a) folgt sofort aus \ref{exo}, ebenso (b), wenn man noch berücksichtigt, dass zwei nicht assoziierte irreduzible Polynome in $K[X]$ keine
gemeinsame Nullstelle in $C$ haben können.
\end{proof}

\begin{bsp} Nimmt man $K:=\F_p(T)$ für eine Primzahl $p$, so ist $X^p-T$ nach dem Kriterium von Eisenstein [$\to$A2.6.3] prim und daher
$(X^p-T)\subseteq K[X]$ ein Primideal und insbesondere ein Radikalideal. Aber $X^p-T$ ist nicht separabel, denn ist $a\in\overline K$ mit
$a^p-T=0$, so $X^p-T=(X-a)^p$ [$\to$A4.4.3].
\end{bsp}

\begin{lem}\label{distri}
Sei $I\subseteq K[\x]$ ein Ideal, $s\in\N$ und $p_1,\dots,p_s\in K[X_1]$ mit $(p_i,p_j)=(1)=K[X_1]$ für alle $i,j\in\{1,\dots,s\}$
mit $i\ne j$. Dann \[(I\cup\{p_1\dotsm p_s\})=\bigcap_{i=1}^s(I\cup\{p_i\}).\]
\end{lem}

\begin{proof}
"`$\subseteq$"' ist trivial

\medskip\noindent
"`$\supseteq$"' Sei $g\in\bigcap_{i=1}^s(I\cup\{p_i\})$. Zu zeigen: $g\in(I\cup\{p_1\dotsm p_s\})$. Wähle $q_i\in I$ und $r_i\in K[\x]$ mit
$g=q_i+r_ip_i$ ($1\le i\le s$). Für \[f_i:=\prod_{\substack{j=1\\j\ne i}}^sp_j\] gilt $f_ig\in(I\cup\{p_1\dotsm p_s\})$. Da $K[X_1]$ ein
Hauptidealring ist, gilt ausserdem \[(f_1,\dots,f_s)=(1)=K[X_1].\] Daher gibt es $h_1,\dots,h_s\in K[X_1]$ mit
$h_1f_1+\dots+h_sf_s=1$. Es folgt \[g=1g=(h_1f_1+\dots+h_sf_s)g=h_1(f_1g)+\ldots+h_s(f_sg)\in(I\cup\{p_1\dotsm p_s\}).\]
\end{proof}

\begin{sat}\label{seide}\mbox{}\emph{[Abraham Seidenberg *1916 $\dagger$1988]}
Sei $I\subseteq K[\x]$ ein Ideal. Für jedes $i\in\{1,\dots,n\}$ enthalte das
Eliminationsideal $I\cap K[X_i]$ ein separables Polynom. Dann ist $I$ ein Radikalideal.
\end{sat}

\begin{proof} Induktion nach $n\in\N_0$.

\noindent
\underline{$n=0$} trivial

\noindent
\underline{$n=1$} mit \ref{rad0}(a)

\noindent
\underline{$n-1\to n\ ~(n\ge2)$} Wähle ein separables Polynom $f\in I\cap K[X_1]$. Falls $f\in K^\times$, so sind wir fertig. Sei also
$f\in K[X_1]\setminus K$. Schreibe dann $f=p_1\dotsm p_s$ mit
$s\in\N$, $p_1,\dots,p_s\in K[X_1]$ irreduzibel und $(p_i,p_j)=(1)$ für $i\ne j$. Nach \ref{distri} gilt dann $I=\bigcap_{i=1}^s(I\cup\{p_i\})$.
Da ein Schnitt von Radikalidealen wieder ein Radikalideal ist, können wir daher \OE\ $f$ als irreduzibel in $K[X_1]$ voraussetzen. Wähle
eine Nullstelle $a\in C$ mit $f(a)=0$, setze $L:=K(a)$ und betrachte den $K$-Algebrenepimorphismus
$\ph\colon K[X_1,\dots,X_n]\twoheadrightarrow L[X_2,\dots,X_n]$ mit $\ph(X_1)=a$ und $\ph(X_i)=X_i$
für $i\in\{2,\dots,n\}$. Man sieht dann leicht, dass der
Kern von $\ph$ von $f$ erzeugt wird, denn $f$ ist assoziiert zum Minimalpolynom von $a$ über $K$. Insbesondere gilt $\ker\ph\subseteq I$.
Da $\ph$ wegen $L=K[a]$ surjektiv ist, ist $J:=\ph(I)$ ein Ideal in $L[X_2,\dots,X_n]$. Wegen $\ker\ph\subseteq I$
gilt $\ph^{-1}(J)=I$. Daher reicht es zu zeigen, dass $J$ ein Radikalideal ist. Für jedes $i\in\{2,\dots,n\}$ enthält aber mit $I\cap K[X_i]$
auch $J\supseteq I\cap K[X_i]$ ein separables Polynom. Nach Induktionsvoraussetzung ist also $J$ ein Radikalideal wie gewünscht.
\end{proof}

\begin{kor}\label{seidekor}
Sei $K$ ein vollkommener Körper und $I\subseteq K[\x]$ ein Ideal. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $I$ ist ein Radikalideal mit $\#V(I)<\infty$.
\item Für jedes $i\in\{1,\dots,n\}$ enthält $I\cap K[X_i]$ ein separables Polynom.
\item Für jedes $i\in\{1,\dots,n\}$ wird das Eliminationsideal $I\cap K[X_i]$ von einem separablen Polynom erzeugt.
\end{enumerate}
\end{kor}

\begin{proof} 
(c)$\implies$(b) ist trivial.

\medskip\noindent
(b)$\implies$(a) folgt aus den Sätzen \ref{seide} und \ref{finvar}.

\medskip\noindent
(a)$\implies$(c) folgt aus Satz \ref{rad0}(b).
\end{proof}

\begin{pro}\label{squarefree}
Gelte $\ch K=0$. Seien $f\in K[X]\setminus\{0\}$ und $g,h\in K[X]$ mit $(f,f')=(h)$ und $f=gh$. Dann gilt $\sqrt{(f)}=(g)$ und
$g$ ist separabel.
\end{pro}

\begin{proof} \OE\ $f$ normiert. Wähle dann $m\in\N_0$, paarweise verschiedene $a_1,\dots,a_d\in C$ und $\al_1,\dots,\al_d\in\N$ mit
$f=\prod_{i=1}^d(X-a_i)^{\al_i}$. Es folgt $f'=\sum_{i=1}^d\al_i(X-a_i)^{\al_i-1}\prod_{j\ne i}(X-a_j)^{\al_j}$, woraus man wegen $\ch K=0$
sieht, dass das von $f$ und $f'$ in $C[X]$ erzeugte Ideal von $\prod_{i=1}^d(X-a_i)^{\al_i-1}$ erzeugt wird. Da $h$ laut Voraussetzung
das von $f$ und $f'$ in $K[X]$ und damit auch in das davon in $C[X]$ erzeugte Ideal erzeugt, gilt
\[(h)=\left(\prod_{i=1}^d(X-a_i)^{\al_i-1}\right)\subseteq C[X]\] und
daher \OE\ $h=\prod_{i=1}^d(X-a_i)^{\al_i-1}$. Somit $g=(X-a_1)\dotsm(X-a_n)$. Entweder mit dem Hilbertschen Nullstellensatz 1.3.9
oder mit linearer Algebra sieht man nun leicht $\sqrt{(f)}=(g)$. Dass $g$ separabel ist, ist klar.
\end{proof}

\begin{sat}\label{calcrad}
Gelte $\ch K=0$ und sei $I\subseteq K[\x]$ ein Ideal mit $\#V(I)<\infty$. Für jedes $i\in\{1,\dots,n\}$ erzeuge $f_i\in K[X_i]$ das
Eliminationsideal $I\cap K[X_i]$ und es seien $g_i,h_i\in K[X]$ mit $(f_i,f_i')=(h_i)\subseteq K[X_i]$ und $f_i=g_ih_i$. Dann
\[\sqrt I=(I\cup\{g_1,\dots,g_n\}).\]
\end{sat}

\begin{proof}
Nach \ref{squarefree} ist $g_i\in K[X_i]$ separabel mit $g_i\in\sqrt I$ für $i\in\{1,\dots,n\}$. Nach \ref{seide} ist $(I\cup\{g_1,\dots,g_n\})$
ein Radikalideal.
\end{proof}

\begin{lem}[Interpolation]\label{interpol}
Seien $\ell\in\N_0$, $x_1,\dots,x_\ell\in K^n$ paarweise verschieden und $y_1,\dots,y_\ell\in K$. Dann gibt
es $f\in K[X_1,\dots,X_n]$ mit $f(x_i)=y_i$ für $i\in\{1,\dots,\ell\}$.
\end{lem}

\begin{proof}
\OE\ $\ell\ge1$, $y_1=1$ und $y_2=\ldots=y_\ell=0$. Induktion nach $n\in\N_0$:

\noindent\medskip
\underline{$n=0$} Wegen $K^0=\{0\}$ gilt $\ell=1$. Setze also $f:=1\in K$.

\noindent\medskip
\underline{$n=1$} Setze\[f:=\frac{\prod_{i=2}^\ell(X_1-x_i)}{\prod_{i=2}^\ell(x_1-x_i)}\in K[X_1].\]

\noindent\medskip
\underline{$n-1\to n\ ~(n\in\N)$} Schreibe $x_i=(x_i',x_i'')$ mit $x_i\in K^{n-1}$ und $x_i''\in K$ für $i\in\{1,\dots,\ell\}$. Nach allfälligem
Umnummerieren gibt es $k\in\{1,\dots,\ell\}$ mit
\[x_1''=\ldots=x_k''\notin\{x_{k+1}'',\dots,x_\ell''\}.\] Nach dem
schon bewiesenen Fall $n=1$ gibt es $g\in K[X_n]$ mit $g(x_1'')=1$ und $g(x_i'')=0$ für alle $i\in\{k+1,\dots,\ell\}$. Nach
Induktionsvoraussetzung gibt es weiter $h\in K[X_1,\dots,X_{n-1}]$ mit $h(x_1')=1$ und $h(x_2')=\ldots=h(x_k')=0$. Setze $f:=gh$.
\end{proof}

\begin{lem}\label{surlem}
Sei $I\subseteq C[\x]$ ein Ideal mit $\#V(I)<\infty$. Dann ist der $C$-Algebren\-homo\-morphismus
\[\ph\colon C[\x]/I\to C^{V(I)},\ \overline p\mapsto(p(x))_{x\in V(I)}\quad(p\in C[X])\] surjektiv. Ist $I$ ein Radikalideal, so ist $\ph$ sogar ein
Isomorphismus.
\end{lem}

\begin{proof} Die erste Aussage ist aus \ref{interpol} klar. Sei nun $I$ ein Radikalideal. Wegen
$I=\sqrt I\overset{1.3.9}=I(V(I))$ gilt dann mit $K:=C$ und $V:=V(I)$, dass $K[V]=C[\x]/I$. Es ist dann $\ph$
nichts anderes als der $K$-Algebrenisomorphismus $K[V]\to\mor_K(V,\A)$ aus 1.5.8.
\end{proof}

\begin{sat} Sei $I\subseteq K[\x]$ ein Ideal mit $\#V(I)<\infty$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\#V(I)\le\dim_K(K[\x]/I)<\infty$
\item Ist $K$ vollkommen und $I$ ein Radikalideal, so $\#V(I)=\dim_K(K[\x]/I)$.
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof} Wähle eine Gröbnerbasis $G$ von $I$ und sei $J$ das von $G$ in $C[\x]$ erzeugte Ideal.
Es gilt natürlich $V(I)=V(G)=V(J)$. Es ist $\redM(G)$ [$\to$2.4.10] sowohl eine Basis für den $K$-Vektorraum der modulo $G$ reduzierten
Polynome aus $K[\x]$ als auch für den $C$-Vektorraum der modulo $G$ reduzierten Polynome aus $C[\x]$ [$\to$2.4.1(b)]. Wegen 2.4.7(i)
gilt also $\dim_K(K[\x]/I)=\dim_C(C[\x]/J)$, denn $G$ ist auch eine Gröbnerbasis von $J$ nach dem Buchberger-Kriterium 2.5.4. Ist $K$
vollkommen und $I$ ein Radikalideal, so ist nach \ref{seidekor} auch $J$ ein Radikalideal. Wir sehen also, dass wir \OE\ $K=C$ voraussetzen
dürfen. Dann folgt alles aus \ref{surlem} (und \ref{finvar}(d)).
\end{proof}

\begin{kor}\label{count}
Sei $G$ eine Gröbnerbasis des Ideals $I\subseteq K[\x]$ mit $\#V(I)<\infty$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\#V(I)\le\#\redM(G)<\infty$
\item Ist $K$ vollkommen und $I$ ein Radikalideal, so $\#V(I)=\#\redM(G)$.
\end{enumerate}
\end{kor}

\begin{proof}
Nach 2.4.7(i) ist $\red(G)\to K[\x]/I$ ein $K$-Vektorraumisomorphismus.
\end{proof}

\begin{bem}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ist $G$ eine Gröbnerbasis des Ideals $I\subseteq K[\x]$, so kann man $\#\redM(G)\in\N_0\cup\{\infty\}$ mit 2.4.11(a) leicht bestimmen.
\item Gelte $\ch K=0$ und sei $F\subseteq K[\x]$ endlich. Dann kann man $\#V(F)\in\N_0\cup\{\infty\}$ wie folgt bestimmen: Berechne mit
dem Buchberger-Algorithmus 2.5.6 eine Gröbnerbasis $G$ des Ideals $I:=(F)$. Überprüfe mit \ref{finvarkor} anhand von $G$, ob
$\#V(I)=\infty$.
Gelte nun $\#V(I)<\infty$. Berechne mit \ref{calcrad} ein endliches $F'\subseteq K[\x]$ mit $(F')=\sqrt I$. Berechne eine Gröbnerbasis $G'$
von $\sqrt I$. Bestimme mit 2.4.11(a) $\#\redM(G')$. Nach \ref{count}(b) gilt $\#V(I)=\#V(\sqrt I)=\#\redM(G')$.
\end{enumerate}
\end{bem}

\end{document}