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% unter teilweiser Berücksichtigung des LaTeX-Sündenregisters l2tabu.pdf: ftp://ftp.dante.de/tex-archive/info/l2tabu/german/l2tabu.pdf
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\renewcommand{\i}{\overset\circ\imath} % the complex imaginary unit

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\newtheorem{satdef}[sat]{Satz und Definition}
\newtheorem{notsprpro}[sat]{Notation, Sprechweise und Proposition}
\newtheorem{lem}[sat]{Lemma}
\newtheorem{pro}[sat]{Proposition}
\newtheorem{notpro}[sat]{Notation und Proposition}
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\theoremstyle{remark}
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\newtheorem{exo}[sat]{Übung}

\newcommand\cc[2]{\overline{#1}^{\substack{\\\\#2}}}

\newcommand{\case}[2]{$\begin{Bmatrix}\text{#1}\\\text{#2}\end{Bmatrix}$}

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\DeclareMathOperator\irr{irr}
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\DeclareMathOperator\constr{\mathrel \wedge \joinrel \hspace{-1.47ex}\smile}

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\newcommand\s{\structure}
\renewcommand\b[1]{\textcolor{Brown}{#1}}
\newcommand\hide[1]{}

\begin{document}
\title{§5.4 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal}
\date{}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Notation.}
Ist $K$ ein Körper und $a\in K$, so bezeichne \a{$\sqrt a$} stets \a{eines} der \s{höchstens zwei} Elemente $b\in\overline K$ mit \s{$b^2=a$} \pause
(ist $a\in\R_{\ge0}$, so sei wie üblich $\sqrt a\ge0$). \pause Man beachte, dass $\sqrt a$ bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt ist. 
\pause Insbesondere ist $K(\sqrt a)$ der Zerfällungskörper von $X^2-a$ über $K$.\pause

\bigskip
\s{Proposition.} Sei $L|K$ eine Körpererweiterung mit $\chr K\ne2$. Dann \[\s{[L:K]\le2\iff\exists a\in K:L=K(\sqrt a)}.\]\pause
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Proposition.}
Sei $K$ ein vollkommener Körper und \s{$a\in\overline K$}. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(a)]
\item Es gibt $n\in\N_0$ und Zwischenkörper $F_0,\dots,F_n$ von $\overline K|K$ mit
\s{$K=F_0\subseteq F_1\subseteq\dots\subseteq F_n$}, \a{$a\in F_n$} und $[F_k:F_{k-1}]=2$ für $k\in\{1,\dots,n\}$.
\item Es gibt einen Zwischenkörper $L$ von $\overline K|K$ mit \a{$L|K$ galoissch} und $a\in L$ derart, dass
$[L:K]$ eine \a{Zweierpotenz} ist.
\item Für den \a{Zerfällungskörper} $L$ des Minimalpolynoms von $a$ über $K$ ist $[L:K]$ eine Zweierpotenz.
\end{enumerate}

\begin{proof}
\begin{overprint}
\onslide<2-6>
\underline{(a)$\implies$(c)} Gelte (a). \visible<3-6>{\s{Dann gibt es $n\in\N_0$ und $a_1,\dots,a_n\in\overline K$ mit $a_n=a$ und
$[K(a_1,\dots,a_k):K(a_1,\dots,a_{k-1})]\le2$ für alle $k\in\{1,\dots,n\}$.}}
\visible<4-6>{
Wähle $\ph_1,\dots,\ph_m\in\Aut(\overline K|K)$ derart,
dass $\ph_1(a),\dots,\ph_m(a)$ die verschiedenen $K$-Konjugierten von $a$ sind, wobei $\ph_1=\id_{\overline K}$ sei.}
\visible<5-6>{
\s{Dann ist $L:=K(\ph_1(a),\dots,\ph_m(a))$ der Zerfällungskörper von $\irr_K(a)$ über $K$.}}
\visible<6>{Nach der Gradformel reicht es zu zeigen,
dass
\s{$[K(a_1,\dots,a_n,\ph_2(a_1),\dots,\ph_2(a_n),\ \ .\ \ .\ \ .\ \ ,\ph_m(a_1),\dots,\ph_m(a_n)):K]$}
eine \a{Zweierpotenz} ist, was mit der Gradformel durch sukzessives Adjungieren folgt.}
\onslide<7>
\underline{(c)$\implies$(b)} trivial
\onslide<8->
\underline{(b)$\implies$(a)}
\visible<8-12>{
Sei $L$ ein Zwischenkörper von $\overline K|K$ mit $L|K$ galoissch und $a\in L$ derart, dass
$[L:K]$ eine Zweierpotenz ist.}
\visible<9-12>{\s{Nach Galois gilt für die Galoisgruppe $G:=\Aut(L|K)$, dass $\#G=[L:K]$ eine Zweierpotenz ist.}}
\visible<10-12>{Also ist $G$ eine
$2$-Gruppe und daher \a{auflösbar}.}
\visible<11-12>{Es gibt $n\in\N_0$ und Untergruppen
$H_0,\dots,H_n$ von $G$ mit \a{$G=H_0\rhd H_1\rhd\dots\rhd H_n=\{1\}$} und \s{$[H_{k-1}:H_k]=2$} für alle $k\in\{1,\dots,n\}$.}
\visible<12>{
Setzt man $F_k:=L^{H_k}$ für $k\in\{0,\dots,n\}$, so folgt mit Galois
\a{$K=F_0\subseteq F_1\subseteq\dots\subseteq F_n=L$} und \s{$[F_k:F_{k-1}]=2$} für $k\in\{1,\dots,n\}$.}
\end{overprint}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Notation.} Sei \s{$\{0,1\}\subseteq M\subseteq\C$}. Mit \s{$\constr M$} bezeichnen wir den Körper aller
aus $M$ mit \a{Zirkel und Lineal konstruierbaren} Punkte. Weiter sei
$M^*:=\{a^*\mid a\in M\}$.\pause

\bigskip
\s{Satz.}
Sei \s{$\{0,1\}\subseteq M\subseteq\C$} und \s{$a\in\C$}. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(a)]
\item \s{$a\in\constr M$}\pause
\item Es gibt $n\in\N_0$ und Zwischenkörper $F_0,\dots,F_n$ von $\C|\Q(M\cup M^*)$ mit
\s{$\Q(M\cup M^*)=F_0\subseteq F_1\subseteq\dots\subseteq F_n$}, \a{$a\in F_n$} und $[F_k:F_{k-1}]=2$ für $k\in\{1,\dots,n\}$.
\end{enumerate}\pause

\bigskip
Mit Hilfe der Proposition und des Satzes werden wir in der Zahlentheorie zeigen, dass die regelmässigen $p$-Ecke mit
\s{$p\in\{3,5,17,257,65537\}$} mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind. \pause
\s{Man vermutet, dass dies die \a{einzigen} konstruierbaren
regelmäßigen $p$-Ecke mit \a{$p\in\P$} sind.} \pause
Johann Gustav Hermes [*1846 $\dagger$1912] hat zehn Jahre seines Lebens nur
mit der expliziten Konstruktion des regelmäßigen $65537$-Ecks verbracht.
\end{frame}

\end{document}