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\DeclareMathOperator\Aut{Aut}
\DeclareMathOperator\irr{irr}

\begin{document}
\noindent
Universität Konstanz\hfill Einführung in die Algebra\\
Fachbereich Mathematik und Statistik\hfill Wintersemester 2014/2015\\
Markus Schweighofer
\medskip
\hrule
\begin{center}
\section*{§5.3 Der Fundamentalsatz der Algebra}
\setcounter{chapter}{5}
\setcounter{section}{3}
\end{center}
\hrule

\bigskip
\begin{lem} \label{squareroot}
Jedes Polynom $f\in\C[X]$ vom Grad $2$ hat eine Nullstelle in $\C$.
\end{lem}

\begin{proof}
\OE\ $f=X^2+bX+x$ mit $b,c\in\C$. Wegen $f=(X+\frac b2)^2+(c-\frac{b^2}4)$ reicht es zu zeigen, dass jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Dies folgt zum Beispiel mit der Polarzerlegung einer komplexen Zahl aus der Analysis: Sind $r\in\R_{\ge0}$
und $\ph\in\R$, so $(\sqrt re^{\i\frac\ph2})^2=re^{\i\ph}$. Alternativ: Sind $a,b\in\R$ und $r:=\sqrt{a^2+b^2}$, so
\[
\left(\sqrt\frac{r+a}2\pm\i\sqrt\frac{r-a}2\right)^2=\frac{r+a}2\pm2\i\sqrt\frac{r^2-a^2}4-\frac{r-a}2=a\pm2\i\left|\frac b2\right|=a\pm\i b.
\]
\end{proof}

\begin{lem}\label{oddroot}
Jedes Polynom $f\in\R[X]$ von ungeradem Grad hat eine Nullstelle in $\R$.
\end{lem}

\begin{proof}
Sei $f\in\R[X]$ von ungeradem Grad und \OE\ normiert. Dann $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ und $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$,
insbesondere nimmt die stetige Funktion $\R\to\R,\ x\mapsto f(x)$ positive und negative Werte an. Benutze nun den Zwischenwertsatz
aus der Analysis.
\end{proof}

\begin{sat}[Fundamentalsatz der Algebra [Jean-Robert Argand *1768 $\dagger$1822])
$\C$ ist algebraisch abgeschlossen.
\end{sat}

\begin{proof}
Sei $z\in\overline\C$. Zu zeigen: $z\in\C$. Wähle einen Zwischenkörper $L$ von $\overline\C|\C$ mit $z\in L$ derart, dass $L|\R$ eine
endliche Galoiserweiterung ist (zum Beispiel den Zerfällungskörper von $(X^2+1)\irr_\R(z)$ über $\R$). Wir zeigen $L=\C$.
Wähle mit 3.2.6 eine $2$-Sylowgruppe $P$ der Galoisgruppe $G:=\Aut(L|\R)$. Nach Galois 5.2.2 ist
$[L^P:\R]=[G:P]$ ungerade, woraus mit Lemma \ref{oddroot} folgt $L^P=\R$. Dann ist $G=P$ eine $2$-Gruppe
[$\to$3.1.14].
Als Untergruppe von $G$ ist nach Lagrange 1.3.19 daher auch die Galoisgruppe $H:=\Aut(L|\C)$ der Galoiserweiterung $L|\C$ eine
$2$-Gruppe. Wäre $H\ne\{1\}$, so gäbe es nach 3.3.10 und 3.3.12 ein $I\lhd H$ mit $[H:I]=2$, woraus $[L^I:\C]=[L^I:L^H]\overset{\text{Galois}}=[H:I]=2$ folgte im Widerspruch zu \ref{squareroot}. Also folgt $H=\{1\}$ und daher $L=L^H\overset{\text{Galois}}=\C$.
\end{proof}
\end{document}