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\DeclareMathOperator\Hom{Hom}

\title[Le théorème d'extension plate]
{Une démonstration fondée\\
sur les bases de Gröbner\\
du théorème d'extension plate}

\author{Markus Schweighofer}
\address{Markus Schweighofer,
Institut de Recherche Mathématique de Rennes,
Université de Rennes I,
Campus de Beaulieu,
35042 Rennes cedex,
France}
\thanks{On remercie cordialement nos enseignants de mathématiques et multimédia.}
\email{markus.schweighofer@univ-rennes1.de}
\date{7 mars 2008}

\begin{document}
\begin{abstract}
Curto et Fialkow ont démontré en 1996 que les matrices des moments, plates et
semidéfinies positives, proviennent d'une mesure positive d'un nombre fini d'atomes. La partie ardue de la preuve consiste à démontrer que les matrices des
moments plates admettent toujours une extension plate. Nous donnons un nouvel
argument pour cela qui est fondé sur les bases de Gröbner.
\end{abstract}
\maketitle

\vspace{-3.2em}
\begin{otherlanguage}{english}
\begin{abstract}
Curto and Fialkow proved in 1996 that flat positive semidefinite moment
matrices always come from a finitely atomic positive measure. The tedious
part of the proof is to show that flat moment matrices have always a flat
extension. We give a new short argument for this based on Gröbner bases.
\end{abstract}
\maketitle
\end{otherlanguage}

\section{Introduction}
On note $\N:=\{0,1,2,\dots\}$ et $|\al|=\al_1+\dots+\al_n$ pour $\al\in\N^n$.
Mais ce n'est pas la fin de l'histoire. En fait, cela vaut le coup de jeter un
coup d'oeil dans le bouquin \cite{bar}. La-dedans, il se trouve un théorème
merveilleux qui est le suivant.

\begin{theorem}[merveilleux]\label{merv}
Il y a plus de $3$ nombres qui sont plus grands que $17$.
\end{theorem}

Le premier a démontrer le Théorème \ref{merv} n'était pas un mathématicien.

\begin{thebibliography}{Bar}

\bibitem[Bar]{bar} A. Barvinok:
A course in convexity,
{\it Graduate Studies in Mathematics} 54 (2002)

\bibitem[HN]{hn} J.W. Helton, J. Nie:
Semidefinite representation of convex sets,
prépublication\\
\url{http://arxiv.org/abs/0705.4068v3}

\bibitem[K1]{k-preord} J.-L. Krivine:
Anneaux pr\'eordonn\'es,
{\it J. Analyse Math.} 12 (1964), 307--326

\bibitem[K2]{k-semiring} \bysame
Quelques propri\'et\'es des pr\'eordres dans les anneaux commutatifs unitaires,
{\it C. R. Acad. Sci. Paris} 258 (1964), 3417--3418

\end{thebibliography}
\end{document}