Stichworte als provisorischer Ersatz der noch nicht fertigen Teile der Inhaltsangabe GBRT Grundbegriffe der Ringtheorie [Z.1] Iteriere Konstruktion der formalen PR bzw. Polynomring: Mehrere Unbestimmte [Z.2] Halbgruppenring über R (i.A. R Ring mit 1 /= 0) (siehe auch Nachtrag in [B.4]) [Z.3] Bsp. R[C_n] = R[T]/(T^n-1), Folg: G /= E ==> R[G] hat Nullteiler G muss endliche Gruppe sein; falsch mit ZZ [Z.4] Kompos. von Ringhom. ist wieder Ringhom., Ringhom. induziert Homom. der Einheitengruppen [Z.5] Bsp. von Unterringen: Quadratische Zahlringe ZZ[w] mit w := sqrt(d), d quadratfrei; Spezialfall d = 1 mod 4: ZZ[omega] mit omega = (1 + w)/2 [Z.6] Z[i] euklid. Ring bzgl. Normfkt [Z.7] d = -5 ==> Z[w] nicht faktoriell [Z.8] Grundlagen über quadratische Zahlkörper und ihre Ganzheitsringe [Z.9] Ganzheitsringe dieser Körper (Hauptordnung); Bemerkung zu den Einheiten [A] Ideale [A.1] Durchschnitt [A.2] Grundbegriffe der Verbandstheorie [A.3] Beispiele Potenzmenge, Menge der UG, S-seitige Ideale in Ring, UVR in VR, usw.; Nachtrag in [B.1]: Null- und Einselement im Idealverband eines Ringes; Bedeutung von Null- und Einselement als Min bzw. Max bzgl. der zugehörigen partiellen Ordnung [A.4] Idealprodukt [A.5] Idealtheoretische Beschreibung von Teilbarkeit etc. [A.6] Idealverband und Ringhomomorphismen [B] Primideale und max. Ideale [B.1] Def. Primideal, Beziehung zu Primelementen, Charakterisierung (I): Komplement multiplikativ abgeschlossen, ((Nachtrag zu [A.3])), Charakterisierung (II): Restklassenring ist Int.bereich; Kor.: R Int.bereich <==> o_R Primideal [B.2] Primideal in Nicht-HIR i.A. kein Hauptideal, Bsp. Verhalten bzgl. Bild und Urbild [B.3] maximale Ideale: Def.; Charakt.: R/m Körper; max. Ideale sind prim; Umkehrung falsch [B.4] Max. Ideale und Hauptideale: In HIR ist von Primelem. erzeugtes Ideal ein max. Ideal; insbesondere ist jedes Ideal in (endlich vielen) max. Idealen enthalten. Bem.: In IR gilt: q irreduz. <==> (q) max. echtes HI. (Nachtrag zu [Z.2]: HG-Ring) [B.5] Beispiele für max. Ideale (hier noch ergänzen: R = CF(Q) Ring der Cauchyfolgen über rat. Zahlen, N = NF(Q) Ideal der Nullfolgen [B.6] Exkurs: Das Zornsche Maximalitätsprinzip: Partiell geordnete Mengen, induktive Ordnung, Max.prinzip, Auswahlaxiom; verschärftes Maxprinzip [B.7] Anwendungen: Existenz von max. Idealen, VR haben Basen, [B.8] Koprime Ideale und der abstrakte chinesische Restsatz [B.9] "Konkreter" chinesischer Restsatz (über ZZ) [C] Beziehungen zwischen Polynomringen und ihren Koeffizientenringen [C.0] Allgemeine Problemstellung: Hierarchie von Ringeigenschaften [C.1] R[T] HIR ==> R ist Körper [C.2] Noethersche Ringe und Hilbertscher Basissatz: Def., Idealketten, Idealbasen, Basissatz [C.3] Faktorialität in Polynomringen: Satz von Gauß (I); Beweisidee, Grundbegriffe (Inhalt, EInheitsform) [C.4] Satz von Gauß (II): Das Lemma von Gauß [C.5] Satz von Gauß (III): Irreduzibilität und Primitivität in R[T] und in K[T]; Zerlegung in Inhalt * Einheitsform in K[T] [C.6] Satz von Gauß (IV): Beweis [C.7] Irreduzibilitätsbedingunge: Eisenstein-Kriterium, Beispiele; "Substitutionstrick" [C.8] Irreduzibilitätskriterium II: Reduktionsverfahren, Zusatz: über Z GBKT Grundbegriffe der Körpertheorie [A] Grundbegriffe [A.0] Beispiele Q, Q(w), R, C, F_p, K(T), K(T_1, ..., T_n), R/m [A.1] Charakteristik; kanon. Homom \phi_R : ZZ -> R (Ring), Charakteristik, Eingeschaften [A.2] Teilkörper, Erweiterungskörper, Körpererweiterung, Zwischenkörper [A.3] Primkörper, Existenz, Klassifikation, R < K U'Ring: nullteilerfrei, [A.4] Grad einer KE [L:K], z.B. [C:R]=2, Gradformel; L/F_p endlich ==> #L = p^g ; g := [L:F_p] [A.5] Ring- und Körperadjunktion, einfache KE; Beispiele, endl. erzeugte Erweiterungen; primitive Elemente [B] Algebraische KE [B.1] Algebraische und transzendente Elemente einer KE, alg./trszd. KE, L/K endlich ==> algebraisch (Umkehrung falsch!), Fall C/Q: [B.2] Mini-Exkurs: {Algebraische und) Transzendente Zahlen: Beispiele von trszd. Zahlen, Existenz (nach Cantor: algebraische Zahlen sind abzählbar); Bem. zur Irrationalität von \zeta(3) [B.3] Charakterisierung von alg. und transzd. Elementen; Minimalpoly, K(a)/K endlich, hat endlich viele Zwischenkörper [B.4] Minimalpoly: Charakterisierung; Bedeutung [B.5] Transitivität der Algebraizität, relativer algebraischer Abschluss [C] Zerfällungskörper von Polynomen, normale und separable KE [C.1] Existenz von Nullstellen (bzw. Existenz eines Erw.körpers, in dem geg. Poly eine Nst hat); Verfahren von Kronecker, Eindeutigkeit bis auf Isomorphie; Beispiele: Kreisteilungspoly \Phi_p , T^p - 2 [C.2] Zerfällungskörper (I): Existenz [C.3] Zerfällungskörper (II): Eindeutigkeit; Anwendung: Zerf.körper zu T^q - T über F_p (q = p^k) [C.4] Normale KE: Def., quadrat, KE sind normal, Normalität nicht transitiv, Charakterisierungssatz für endliche normale KE [C.5] Separabilität (I): Def., Bsp. eines inseparablen Polynoms, [C.6] Separabilität (II): Formale Ableitung, Separabilitätskriterium, [C.7] Separabilität (III): Vollkommene (perfekte) Körper: Def., Frobenius-Homomorphismus; Lemma: vollkommen <==> Frob. surjektiv === (ab hier letzte Vorlesung; Details siehe Folien) [C.8] Klassifikationssatz für endliche Körper; Folgerung: Normalität; Satz vom primitiven Element (für endl. Körper) [D] Galois-Erweiterungen und Hauptsatz der Galois-Theorie [D.1] Def. GE, Gal-Gruppe; Beispiele von GE; Formulierung der "Galois- Gruppenordnung-Körpergrad-Formel" [D.2] Lemma über die Anzahl der Einbettungen von endlichen KE [D.3] Separabilität (IV): Prop. 1: Separabel erzeugte endl. KE sind separabel; Prop. 2 (Satz vom primitiven Element): Endliche separable KE ist einfach. [D.4] Beispiele von Galois-Gruppen [D.5] Kernaussagen der Galois-Theorie: (I) Von KE zur Galois-Gruppe (A) "Galois-Gruppenordnung-Körpergrad-Formel", (B) "Galois-Zwischenkörper- Satz"; (II) Von Galois-Gruppe zur KE: Def. Fixkörper, (C) "Galois- Fixkörper-Satz"; (D) "Konjugierten-Satz". [D.6] Hauptsatz der Galois-Theorie; mündlich: Ausblick auf einige Anwendungen